자연계열 (오후2) 2번

1. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=2r,\ \overline{\mathrm{BP}}=\frac2r$라 하자($\displaystyle r>0$). 세 점 A, B, P는 삼각형의 세 꼭짓점이거나, 일직선 위에 있으므로$\displaystyle 2r+\frac2r\ge2,\quad2r+2\ge\frac2r,\quad2+\frac2r\ge2r$이 성립한다. 이로부터 $\displaystyle \frac{-1+\sqrt5}2\le r\le\frac{1+\sqrt5}2$이 성립한다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}=2\left(r+\frac1r\right)=f(r)$이라 하면, $\displaystyle f^{\prime}(r)=2\left(1-\frac1{r^2}\right)$이므로 다음의 변화표와 $\displaystyle f(r)$의 그래프로부터

$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}$의 최댓값은 $\displaystyle f\left(\frac{-1+\sqrt5}2\right)=f\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)=2\sqrt5$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}$의 최솟값은 $\displaystyle f(1)=4$이다.

2. $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{4+x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}+a\cdot\frac{(x+\sqrt{4+x^2})^{\prime}}{x+\sqrt{4+x^2}}=\sqrt{4+x^2}+\frac{x^2+a}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{2x^2+a+4}{\sqrt{4+x^2}}$이고, 한편

$\displaystyle f^{\prime}(x)=b\sqrt{4+x^2}=\frac{bx^2+4b}{\sqrt{4+x^2}}$이다. $\displaystyle 2x^2+a+4=bx^2+4b$로부터 $\displaystyle b=2,a=4$이고 따라서 $\displaystyle a+b=6$이다.

3. 선분 AB가 놓여있는 평면을 $\displaystyle xy$－평면이라 하고, $\displaystyle \mathrm A(-1,0),\ \mathrm B(1,0),\ \mathrm P(x,y)$라 하면$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{BP}}=\sqrt{(x+1)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-1)^2+y^2}=4$이다. 양변을 제곱해서 $\displaystyle y$에 대해 정리하면, $\displaystyle y^2=2\sqrt{x^2+4}-1-x^2$이고, $\displaystyle \mathrm P(x,y)$는 이 방정식을 만족시킨다.방정식으로부터 점 P들이 이루는 곡선은 $\displaystyle x$축 및 $\displaystyle y$축에 대칭이고,$\displaystyle x$축 및 $\displaystyle y$축과는 각각 $\displaystyle (\pm\sqrt5,0),\ (0,\pm\sqrt3)$에서 만난다.$\displaystyle y^2=h(x)$라 하면, 점 P들이 이루는 곡선은 함수 $\displaystyle y=\sqrt{h(x)}$ 및 $\displaystyle y=-\sqrt{h(x)}$의 그래프로 이루어져 있고, $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle -\sqrt5\le x\le\sqrt5$임을 알 수 있다.

따라서 구하는 입체도형의 부피는 (문제 2의 결과를 이용해서)$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{-\sqrt5}^{\sqrt5}(\sqrt{h(x)}-(-\sqrt{h(x)}))^2\,dx=\int_{-\sqrt5}^{\sqrt5}(y-(-y))^2\,dx=2\int_0^{\sqrt5}4y^2\,dx\\&=8\int_0^{\sqrt5}(2\sqrt{x^2+4}-1-x^2)\,dx\\&=\left.8\left(x\sqrt{4+x^2}+4\ln(x+\sqrt{4+x^2})-x-\frac13x^3\right)\right|_0^{\sqrt5}\\&=8\left(\frac{\sqrt5}3+4\ln\left(\frac{3+\sqrt5}2\right)\right)=\frac83\sqrt5+32\ln\left(\frac{3+\sqrt5}2\right)\end{aligned}$이다.