상경계열 2번

한양대 서울캠퍼스 2020학년도 수시 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2020su/sanggyeong_2

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

• 정다면체에는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체가 있다.

• 면의 개수가 $\displaystyle n$ 인 정다면체 주사위의 각 면에는 수 $\displaystyle 1,\cdots,n$ 이 하나씩 적혀 있다.

• 정다면체 주사위를 던졌을 때 주사위의 각 면이 바닥에 놓일 확률은 같다.

1. 정육면체, 정팔면체, 정이십면체 주사위를 각각 하나씩 던질 때, 정육면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적혀 있는 수가 3의 배수가 되거나 정팔면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적혀 있는 수가 소수가 되고, 정이십면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적혀 있는 수는 6과 서로소가 아닐 확률을 구하시오.

2. 정육면체 주사위와 정십이면체 주사위를 동시에 300회 던지는 시행에서 바닥에 놓인 면에 적혀 있는 수의 합이 3의 배수가 되는 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 하고, 동시에 $\displaystyle m$ 회 던지는 시행에서 바닥에 놓인 면에 적혀 있는 수가 서로소인 횟수를 확률변수 $\displaystyle Y$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm V(6Y+3)\ge\mathrm E(2X+7)$ 을 만족하는 자연수 $\displaystyle m$ 의 최솟값을 구하시오.

3. 어떤 정다면체 주사위를 300회 던지는 시행에서 바닥에 놓인 면에 적혀 있는 수가 3의 배수가 되는 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라고 하자. $\displaystyle \mathrm P(X\ge120)$ 이 최소가 되는 정다면체 주사위를 모두 찾으시오.

해설강의 준비중

한양대 서울캠퍼스 2020학년도 수시 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2020su/sanggyeong_2

[문제 2]

+10점 · 각 사건이 일어날 확률을 잘 구했는가?

1. 정육면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 3의 배수가 되는 사건: $\displaystyle A$ 정팔면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 소수가 되는 사건: $\displaystyle B$ 정이십면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 6과 서로소인 사건: $\displaystyle C$ 라고 하면 $\displaystyle \mathrm P(A)=\frac13,\mathrm P(B)=\frac48=\frac12,\mathrm P(C)=\frac7{20}$ 이고, 각 사건은 독립이다. 따라서,

+10점 · 독립사건임을 이용하여 제시된 확률을 잘 구했는가?

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P((A\cup B)\cap C^c)&=\mathrm P((A\cap C^c)\cup(B\cap C^c))\\&=\mathrm P(A\cap C^c)+\mathrm P(B\cap C^c)-\mathrm P(A\cap B\cap C^c)\\&=\mathrm P(A)(1-\mathrm P(C))+\mathrm P(B)(1-\mathrm P(C))-\mathrm P(A)\mathrm P(B)(1-\mathrm P(C))\\&=\frac13\frac{13}{20}+\frac12\frac{13}{20}-\frac13\frac12\frac{13}{20}=\frac{13}{30}\end{aligned}$

+10점 · 확률변수

\displaystyle X

의 이항분포로부터 기댓값을 구했는가?

2. 정육면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 $\displaystyle a$ , 정십이면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 $\displaystyle b$ 라 하자. $\displaystyle a+b$ 가 3의 배수가 되는 경우: $\displaystyle a$ 가 1일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 2일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 3일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 4일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 5일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 6일 때 4가지이므로 총 24경우가 있다. 따라서 확률은 $\displaystyle \frac{24}{6\times12}=\frac13$ 이고, 확률변수 $\displaystyle X$ 는 $\displaystyle \mathrm B(300,\frac13)$ 를 따른다.

+10점 · 확률변수

\displaystyle Y

의 이항분포로부터 분산을 구했는가?

한편, $\displaystyle a,b$ 가 서로소가 되는 경우: $\displaystyle a$ 가 1일 때 12가지, $\displaystyle a$ 가 2일 때 6가지, $\displaystyle a$ 가 3일 때 8가지, $\displaystyle a$ 가 4일 때 6가지, $\displaystyle a$ 가 5일 때 10가지, $\displaystyle a$ 가 6일 때 4가지이므로 총 46가지 경우가 있다. 따라서 확률은 $\displaystyle \frac{46}{6\times12}=\frac{23}{36}$ 이고, 확률변수 $\displaystyle Y$ 는 $\displaystyle \mathrm B(m,\frac{23}{36})$ 을 따른다.

+20점 · 기댓값과 분산의 성질을 이용하여

\displaystyle m

을 구했는가?

$\displaystyle \mathrm E(2X+7)=2\mathrm E(X)+7=2\times300\times\frac13+7=207$ 이고, $\displaystyle \mathrm V(6Y+3)=6^2\mathrm V(Y)=6^2\times m\times\frac{23}{36}\times\frac{13}{36}=\frac{13\times23\times m}{36}$ 이므로 $\displaystyle m\ge\frac{207\times36}{13\times23}=\frac{9\times36}{13}=24.92\cdots$ 이다.따라서 $\displaystyle \mathrm V(6Y+3)\ge\mathrm E(2X+7)$ 을 만족하는 최소의 자연수 $\displaystyle m$ 은 25이다.

+10점 · 각 주사위의 이항분포를 구했는가?

3.면이 $\displaystyle n$ 개인 정다면체에 해당하는 확률변수를 $\displaystyle X_n$ , 3의 배수가 나올 확률을 $\displaystyle p_n$ 이라고 하자. $\displaystyle p_4=\frac14,p_6=\frac13,p_8=\frac14,p_{12}=\frac13,p_{20}=\frac3{10}$ 이 된다.

+20점 · 이항분포가 근사하는 정규분포, 표준정규분포로 변환을 했는가?20

	$\displaystyle X_4$	$\displaystyle X_6$	$\displaystyle X_8$	$\displaystyle X_{12}$	$\displaystyle X_{20}$
이항분포	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac14)$	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac13)$	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac14)$	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac13)$	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac3{10})$
정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m_n,\sigma_n^2)$	$\displaystyle \mathrm N(75,(\frac{15}2)^2)$	$\displaystyle \mathrm N(100,\frac{200}3)$	$\displaystyle \mathrm N(75,(\frac{15}2)^2)$	$\displaystyle \mathrm N(100,\frac{200}3)$	$\displaystyle \mathrm N(90,63)$
$\displaystyle \mathrm P(X_n\ge120)$ $\displaystyle =\mathrm P(Z\ge\frac{120-m_n}{\sigma_n})$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge6)$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge\sqrt6)$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge6)$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge\sqrt6)$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge\frac{10}{\sqrt7})$

+10점 · 확률밀도함수의 성질을 이용하여 대소관계를 파악했는가?

이 때, $\displaystyle \sqrt6<\frac{10}{\sqrt7}<6$ 이므로, $\displaystyle \mathrm P(Z\ge6)$ 이 가장 작다.따라서, 정사면체와 정팔면체이다.

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