상경계열 2번

한양대 서울캠퍼스 2020학년도 수시 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2020su/sanggyeong_2

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한양대 서울캠퍼스 2020학년도 수시 상경계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2020su/sanggyeong_2

[문제 2]

+10점 · 각 사건이 일어날 확률을 잘 구했는가?

1. 정육면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 3의 배수가 되는 사건: $\displaystyle A$ 정팔면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 소수가 되는 사건: $\displaystyle B$ 정이십면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 6과 서로소인 사건: $\displaystyle C$ 라고 하면 $\displaystyle \mathrm P(A)=\frac13,\mathrm P(B)=\frac48=\frac12,\mathrm P(C)=\frac7{20}$ 이고, 각 사건은 독립이다. 따라서,

+10점 · 독립사건임을 이용하여 제시된 확률을 잘 구했는가?

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P((A\cup B)\cap C^c)&=\mathrm P((A\cap C^c)\cup(B\cap C^c))\\&=\mathrm P(A\cap C^c)+\mathrm P(B\cap C^c)-\mathrm P(A\cap B\cap C^c)\\&=\mathrm P(A)(1-\mathrm P(C))+\mathrm P(B)(1-\mathrm P(C))-\mathrm P(A)\mathrm P(B)(1-\mathrm P(C))\\&=\frac13\frac{13}{20}+\frac12\frac{13}{20}-\frac13\frac12\frac{13}{20}=\frac{13}{30}\end{aligned}$

+10점 · 확률변수

\displaystyle X

의 이항분포로부터 기댓값을 구했는가?

2. 정육면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 $\displaystyle a$ , 정십이면체 주사위의 바닥에 놓인 면에 적힌 수가 $\displaystyle b$ 라 하자. $\displaystyle a+b$ 가 3의 배수가 되는 경우: $\displaystyle a$ 가 1일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 2일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 3일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 4일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 5일 때 4가지, $\displaystyle a$ 가 6일 때 4가지이므로 총 24경우가 있다. 따라서 확률은 $\displaystyle \frac{24}{6\times12}=\frac13$ 이고, 확률변수 $\displaystyle X$ 는 $\displaystyle \mathrm B(300,\frac13)$ 를 따른다.

+10점 · 확률변수

\displaystyle Y

의 이항분포로부터 분산을 구했는가?

한편, $\displaystyle a,b$ 가 서로소가 되는 경우: $\displaystyle a$ 가 1일 때 12가지, $\displaystyle a$ 가 2일 때 6가지, $\displaystyle a$ 가 3일 때 8가지, $\displaystyle a$ 가 4일 때 6가지, $\displaystyle a$ 가 5일 때 10가지, $\displaystyle a$ 가 6일 때 4가지이므로 총 46가지 경우가 있다. 따라서 확률은 $\displaystyle \frac{46}{6\times12}=\frac{23}{36}$ 이고, 확률변수 $\displaystyle Y$ 는 $\displaystyle \mathrm B(m,\frac{23}{36})$ 을 따른다.

+20점 · 기댓값과 분산의 성질을 이용하여

\displaystyle m

을 구했는가?

$\displaystyle \mathrm E(2X+7)=2\mathrm E(X)+7=2\times300\times\frac13+7=207$ 이고, $\displaystyle \mathrm V(6Y+3)=6^2\mathrm V(Y)=6^2\times m\times\frac{23}{36}\times\frac{13}{36}=\frac{13\times23\times m}{36}$ 이므로 $\displaystyle m\ge\frac{207\times36}{13\times23}=\frac{9\times36}{13}=24.92\cdots$ 이다.따라서 $\displaystyle \mathrm V(6Y+3)\ge\mathrm E(2X+7)$ 을 만족하는 최소의 자연수 $\displaystyle m$ 은 25이다.

+10점 · 각 주사위의 이항분포를 구했는가?

3.면이 $\displaystyle n$ 개인 정다면체에 해당하는 확률변수를 $\displaystyle X_n$ , 3의 배수가 나올 확률을 $\displaystyle p_n$ 이라고 하자. $\displaystyle p_4=\frac14,p_6=\frac13,p_8=\frac14,p_{12}=\frac13,p_{20}=\frac3{10}$ 이 된다.

+20점 · 이항분포가 근사하는 정규분포, 표준정규분포로 변환을 했는가?20

	$\displaystyle X_4$	$\displaystyle X_6$	$\displaystyle X_8$	$\displaystyle X_{12}$	$\displaystyle X_{20}$
이항분포	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac14)$	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac13)$	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac14)$	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac13)$	$\displaystyle \mathrm B(300,\frac3{10})$
정규분포 $\displaystyle \mathrm N(m_n,\sigma_n^2)$	$\displaystyle \mathrm N(75,(\frac{15}2)^2)$	$\displaystyle \mathrm N(100,\frac{200}3)$	$\displaystyle \mathrm N(75,(\frac{15}2)^2)$	$\displaystyle \mathrm N(100,\frac{200}3)$	$\displaystyle \mathrm N(90,63)$
$\displaystyle \mathrm P(X_n\ge120)$ $\displaystyle =\mathrm P(Z\ge\frac{120-m_n}{\sigma_n})$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge6)$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge\sqrt6)$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge6)$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge\sqrt6)$	$\displaystyle \mathrm P(Z\ge\frac{10}{\sqrt7})$

+10점 · 확률밀도함수의 성질을 이용하여 대소관계를 파악했는가?

이 때, $\displaystyle \sqrt6<\frac{10}{\sqrt7}<6$ 이므로, $\displaystyle \mathrm P(Z\ge6)$ 이 가장 작다.따라서, 정사면체와 정팔면체이다.

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