자연계열 (오후1) 2번

1. 평면 $\displaystyle \alpha$위에서 $\displaystyle \angle\mathrm{APB}=\frac\pi4$를 만족하는 점 P는 선분 AB가 현이 되는 평면 $\displaystyle \alpha$위의 두 개의 원 위에 있고, 각각의 원에서 현 AB의 중심각은 $\displaystyle \frac\pi2$이고, 점 P는 원주각 $\displaystyle \angle\mathrm{APB}=\frac\pi4$인 점이다.

오른쪽 그림에서 구하는 영역의 넓이는 $\displaystyle 2\left(\pi\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2\cdot\frac34+\frac12\cdot\frac1{\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}\right)=\frac34\pi+\frac12$이다.

2. 먼저 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$를 포함하는 한 평면 $\displaystyle \alpha$위에 있고, $\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \frac{\pi}{12}$인 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 물음 1에서와 마찬가지로 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$가 현이 되는 평면 $\displaystyle \alpha$위의 두 개의 원 위에 있고, 각각의 원에서 현 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 중심각은 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 원주각 $\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \frac{\pi}{12}$인 점이다.평면 $\displaystyle \alpha$위에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$가 최대인 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 $\displaystyle \mathrm{A}$와 각각의 원의 중심을 지나는 직선 위에 있다. (오른쪽 그림에서 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$)한편, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 포함하는 임의의 다른 평면에서도 점 $\displaystyle \mathrm{P}$들이 이루는 곡선은 평면 $\displaystyle \alpha$에서의 곡선과 동일한 모양을 가진다.따라서 각각의 평면에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$의 최댓값은 동일하며 그 값은 평면 위의 (두) 원의 지름인 $\displaystyle 2 \cdot \frac{1}{2 \sin \frac{\pi}{12}} = \frac{{2 \sqrt{2}}}{\sqrt{3} - 1} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$이다.

또한 위의 관찰로부터 공간에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$를 최대로 하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$들이 이루는 곡선은 위 그림에서와 같이 중심이 $\displaystyle \mathrm{B}$, 반지름이 $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}$인 원이다. (이 원을 포함하는 평면은 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선에 수직이다.)따라서 구하는 곡선의 길이의 제곱은 $\displaystyle l^{2} = ( 2 \pi {\overline{\mathrm{BP}}} )^{2} = 4 \pi^{2} ( ( \sqrt{6} + \sqrt{2} )^{2} - 1^{2} )$$\displaystyle = 4 \pi^{2} ( 7 + 2 \sqrt{12} )$$\displaystyle = ( 28 + 16 \sqrt{3} ) \pi^{2}$이다.

(1) $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$일 때, (직사각형의 넓이)$\displaystyle +2$(반원의 넓이)$\displaystyle =2\cdot\frac1{2\sin\theta}\cdot2\cdot\frac{\cos\theta}{2\sin\theta}+2\cdot\frac12\pi\left(\frac1{2\sin\theta}\right)^2=\frac{4\cos\theta+\pi}{4\sin^2\theta}$이고,

(2) $\displaystyle \frac\pi2\le\theta<\pi$일 때, $\displaystyle 2\cdot$(각각의 원이 현 AB로 잘린 부분의 넓이)$\displaystyle =2\cdot${(AB를 현으로 하는 부채꼴의 넓이)　$\displaystyle -$(점 A, B와 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)}$\displaystyle =2\cdot\left(\frac{\pi-\theta}{4\sin^2\theta}-\left(-\frac{\cos\theta}{4\sin\theta}\right)\right)=\frac{\pi-\theta+\cos\theta\sin\theta}{2\sin^2\theta}$이다.