자연계열 (오후2) 1번

1.1인용 배를 선택할 확률 = 4개의 동전을 던져 같은 면이 4개일 확률 $\displaystyle =\frac2{16}=\frac18$2인용 배를 선택할 확률 = 4개의 동전을 던져 같은 면이 2개일 확률 $\displaystyle =\frac6{16}=\frac38$3인용 배를 선택할 확률 = 나머지 확률 $\displaystyle =1-\left(\frac38+\frac18\right)=\frac12$

2. 우선 2인용 배만 무인도 A로 돌아오는 경우는 아래의 두 가지 사건 중 하나가 일어난 경우이다.(1) 사건 $\displaystyle X$: 무인도 A에서 2명이 2인용 배를 선택하고 1명이 1인용 배를 선택하여 무인도 B로 이동하고, 무인도 B에서 2명이 2인용 배를 선택하고 1명이 2인용 배 혹은 3인용 배를 선택하여 무인도 A로 돌아온 경우(2) 사건 $\displaystyle Y$: 무인도 A에서 2명이 2인용 배를 선택하고 1명이 2인용 배 혹은 3인용 배를 선택하여 무인도 B로 이동하고, 무인도 B에서 2명이 2인용 배를 선택하여 무인도 A로 돌아온 경우사건 $\displaystyle X$가 일어나면 무인도 B에 (2인용 배에 탑승하지 않은) 1명이 남게 된다. 사건 $\displaystyle Y$가 일어나면 무인도 A에 (2인용 배에 탑승하지 않은) 1명이 있게 된다. 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로, ‘2인용 배가 무인도 A로 돌아왔을 때 남은 한 명이 무인도 B에 남을 확률’은$\displaystyle \frac{\mathrm P(X)}{\mathrm P(X\cup Y)}=\frac{\mathrm P(X)}{\mathrm P(X)+\mathrm P(Y)-\mathrm P(X\cap Y)}=\frac{\mathrm P(X)}{\mathrm P(X)+\mathrm P(Y)}$이다. 구체적인 계산은 아래와 같다.• $\displaystyle \mathrm P(X)={}_3\mathrm C_2\left(\frac38\right)^2\left(\frac18\right)\times\left({}_3\mathrm C_2\left(\frac38\right)^2\left(\frac12\right)+\left(\frac38\right)^3\right)$• $\displaystyle \mathrm P(Y)=\left({}_3\mathrm C_2\left(\frac38\right)^2\left(\frac12\right)+\left(\frac38\right)^3\right)\times\left(\frac38\right)^2$

따라서 구하고자 하는 확률 $\displaystyle \frac{\mathrm P(X)}{\mathrm P(X)+\mathrm P(Y)}$은$\displaystyle \frac{{}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac18)\times({}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac12)+(\frac38)^3)}{{}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac18)\times({}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac12)+(\frac38)^3)+({}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac12)+(\frac38)^3)\times(\frac38)^2}=\frac{{}_3\mathrm C_2(\frac18)}{{}_3\mathrm C_2(\frac18)+1}=\frac3{3+8}=\frac3{11}$이고, $\displaystyle p=3,q=11,p+q=14$이다.

3. 무인도 A를 3명이 출발하는 경우는 아래의 3가지 경우 중 하나이다.(1) 1인용 배 3척: 선택될 확률 $\displaystyle =\left(\frac18\right)^3$(2) 1인용 배 1척과 2인용 배 1척: 선택될 확률 $\displaystyle ={}_3\mathrm C_1\left(\frac18\right)\left(\frac38\right)^2$(3) 3인용 배 1척: 선택될 확률 $\displaystyle =\left(\frac12\right)^3$

각각의 경우 3명이 모두 무인도 B에 남는 경우는 아래와 같다.(1) 무인도 B에 있는 배는 1인용 배 3척이므로　1인용 배를 선택하는 사람이 없는 경우:　일어날 확률 $\displaystyle \left(1-\frac18\right)^3$(2) 무인도 B에 있는 배는 1인용 배 1척과 2인용 배 1척이므로　(i) 3명이 모두 3인용 배를 선택하거나　(ii) 2명이 3인용 배를 선택하고 1명이 2인용 배를 선택하는 경우:　일어날 확률 $\displaystyle =\left(\frac12\right)^3+{}_3\mathrm C_1\left(\frac38\right)\left(\frac12\right)^2$(3) 무인도 B에 있는 배는 3인용 배 1척이므로　3명이 동시에 3인용 배를 선택하는 경우만 제외:　일어날 확률 $\displaystyle =1-\left(\frac12\right)^3$따라서, 구하고자 하는 확률은 아래와 같이 확률의 곱의 합으로 구할 수 있다.$\displaystyle \left(\frac18\right)^3\left(\frac78\right)^3+{}_3\mathrm C_1\left(\frac18\right)\left(\frac38\right)^2\left(\left(\frac12\right)^3+{}_3\mathrm C_1\left(\frac38\right)\left(\frac12\right)^2\right)+\left(\frac12\right)^3\left(1-\left(\frac12\right)^3\right)=\frac{7^3+3^3 2^6+3^5 2^4+7\cdot2^{12}}{8^6}$분자는 홀수+짝수+짝수+짝수로 홀수이다. 따라서 기약분수이며 분자를 16으로 나눈 나머지는 $\displaystyle 7^3$을 16으로 나눈 나머지와 동일하고 그 값은 7이다.