의예과 2번

1. 우선 2인용 배만 무인도 A로 돌아오는 경우는 아래의 두 가지 사건 중 하나가 일어난 경우이다.(1) 사건 $\displaystyle X$: 무인도 A에서 2명이 2인용 배를 선택하고 1명이 1인용 배를 선택하여 무인도 B로 이동하고, 무인도 B에서 2명이 2인용 배를 선택하고 1명이 2인용 배 혹은 3인용 배를 선택하여 무인도 A로 돌아온 경우(2) 사건 $\displaystyle Y$: 무인도 A에서 2명이 2인용 배를 선택하고 1명이 2인용 배 혹은 3인용 배를 선택하여 무인도 B로 이동하고, 무인도 B에서 2명이 2인용 배를 선택하여 무인도 A로 돌아온 경우사건 $\displaystyle X$가 일어나면 무인도 B에 (2인용 배에 탑승하지 않은) 1명이 남게 된다. 사건 $\displaystyle Y$가 일어나면 무인도 A에 (2인용 배에 탑승하지 않은) 1명이 있게 된다. 두 사건은 동시에 일어나지 않으므로, ‘2인용 배가 무인도 A로 돌아왔을 때 남은 한 명이 무인도 B에 남을 확률’은$\displaystyle \frac{\mathrm P(X)}{\mathrm P(X\cup Y)}=\frac{\mathrm P(X)}{\mathrm P(X)+\mathrm P(Y)-\mathrm P(X\cap Y)}=\frac{\mathrm P(X)}{\mathrm P(X)+\mathrm P(Y)}$이다. 구체적인 계산은 아래와 같다.• $\displaystyle \mathrm P(X)={}_3\mathrm C_2\left(\frac38\right)^2\left(\frac18\right)\times\left({}_3\mathrm C_2\left(\frac38\right)^2\left(\frac12\right)+\left(\frac38\right)^3\right)$• $\displaystyle \mathrm P(Y)=\left({}_3\mathrm C_2\left(\frac38\right)^2\left(\frac12\right)+\left(\frac38\right)^3\right)\times\left(\frac38\right)^2$

따라서 구하고자 하는 확률 $\displaystyle \frac{\mathrm P(X)}{\mathrm P(X)+\mathrm P(Y)}$은$\displaystyle \frac{{}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac18)\times({}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac12)+(\frac38)^3)}{{}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac18)\times({}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac12)+(\frac38)^3)+({}_3\mathrm C_2(\frac38)^2(\frac12)+(\frac38)^3)\times(\frac38)^2}=\frac{{}_3\mathrm C_2(\frac18)}{{}_3\mathrm C_2(\frac18)+1}=\frac3{3+8}=\frac3{11}$이고, $\displaystyle p=3,q=11,p+q=14$이다.

2. $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^nk|\overrightarrow{\mathrm A_k\mathrm P}|^2&=\sum_{k=1}^nk\left\{\left(x-\cos\frac{2(k-1)\pi}n\right)^2+\left(y-\sin\frac{2(k-1)\pi}n\right)^2\right\}\\&=\sum_{k=1}^nk(x^2+y^2+1)-2\sum_{k=1}^nk\cos\frac{2(k-1)\pi}n x-2\sum_{k=1}^nk\sin\frac{2(k-1)\pi}n y=n^2\end{aligned}$$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$이므로$\displaystyle (x^2+y^2+1)-\frac{2\cdot2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nk\cos\frac{2(k-1)\pi}n x-\frac{2\cdot2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nk\sin\frac{2(k-1)\pi}n y=\frac{2n^2}{n(n+1)}$따라서$\displaystyle a_n=\frac2{n(n+1)}\sum_{k=1}^nk\cos\frac{2(k-1)\pi}n,\quad b_n=\frac2{n(n+1)}\sum_{k=1}^nk\sin\frac{2(k-1)\pi}n,\quad r_n^2=\frac{2n^2}{n(n+1)}-1+a_n^2+b_n^2$

이로부터$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}a_n&=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n\frac kn\cos\frac{2(k-1)\pi}n\frac1n\\&=2\lim_{n\to\infty}\left\{\sum_{k=1}^{n+1}\frac{k-1}n\cos\frac{2(k-1)\pi}n\frac1n-\frac1n+\sum_{k=1}^n\cos\frac{2(k-1)\pi}n\frac1{n^2}\right\}\end{aligned}$그런데 정적분의 정의와 부분적분법을 사용하면$\displaystyle 2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{k-1}n\cos\frac{2(k-1)\pi}n\frac1n=2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac kn\cos\frac{2k\pi}n\frac1n=2\int_0^1x\cos(2\pi x)\,dx=\Biggl[\frac x\pi\sin(2\pi x)\Biggr]_0^1-\frac1\pi\int_0^1\sin(2\pi x)\,dx=0$이고,$\displaystyle -\frac1n\le-\sum_{k=1}^n\frac1{n^2}\le\sum_{k=1}^n\cos\frac{2(k-1)\pi}n\frac1{n^2}\le\sum_{k=1}^n\frac1{n^2}=\frac1n,\quad\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$이므로, 극한의 성질에 의해 $\displaystyle 2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\cos\frac{2(k-1)\pi}n\frac1{n^2}=0$따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$비슷하게,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n\frac kn\sin\frac{2(k-1)\pi}n\frac1n=2\int_0^1x\sin(2\pi x)\,dx=\Biggl[-\frac x\pi\cos(2\pi x)\Biggr]_0^1+\frac1\pi\int_0^1\cos(2\pi x)\,dx=-\frac1\pi$

이를 종합하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n^2=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{2n^2}{n(n+1)}-1+a_n^2+b_n^2\right\}=2-1+0+\frac1{\pi^2}=\frac{\pi^2+1}{\pi^2}$　즉, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=\frac{\sqrt{\pi^2+1}}\pi$

3. $\displaystyle \mathrm A_{n+1}=\mathrm A_1$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_1}=\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_{n+1}}=\vec0$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}d_n&=(1-c_n)\sum_{k=1}^{n+1}c_n^k|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_k}|=\sum_{k=1}^{n+1}(c_n^k-c_n^{k+1})|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_k}|\\&=\sum_{k=2}^{n+1}c_n^k|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_k}|-\sum_{k=1}^nc_n^{k+1}|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_k}|=\sum_{k=1}^nc_n^{k+1}(|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_{k+1}}|-|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_k}|)\end{aligned}$

O를 원점이라 하자.자연수 $\displaystyle k$가 $\displaystyle 1\le k\le\frac n2+1$이면 $\displaystyle \angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm A_k=\frac{2(k-1)\pi}n$이고, $\displaystyle \frac n2+1<k\le n$이면 $\displaystyle \angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm A_k=2\pi-\frac{2(k-1)\pi}n$이다.그러므로 모든 자연수 $\displaystyle 1\le k\le n$에 대하여 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_k}|=2\sin\frac{(k-1)\pi}n$이고 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_{n+1}}|=0=2\sin\frac{n\pi}n$삼각함수의 덧셈정리에 의해$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_{k+1}}|-|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_k}|=2\left\{\sin\frac{k\pi}n-\sin\left(\frac{k\pi}n-\frac\pi n\right)\right\}=2\left\{\sin\frac{k\pi}n\left(1-\cos\frac\pi n\right)+\cos\frac{k\pi}n\sin\frac\pi n\right\}$따라서$\displaystyle \sum_{k=1}^nc_n^{k+1}(|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_{k+1}}|-|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_k}|)=2c_n\sum_{k=1}^nc_n^k\sin\frac{k\pi}n\left(1-\cos\frac\pi n\right)+2c_n\sum_{k=1}^nc_n^k\cos\frac{k\pi}n\sin\frac\pi n$

우변의 각 항을 나누어 계산하면, 우선 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0\le c_n\le1$이라는 사실과 제시문 <다>로부터$\displaystyle 0\le2c_n\sum_{k=1}^nc_n^k\sin\frac{k\pi}n\left(1-\cos\frac\pi n\right)\le\left(\frac\pi n\right)^2\sum_{k=1}^n1\le\frac{\pi^2}n,\quad\lim_{n\to\infty}\frac1n=0$따라서 극한의 성질에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2c_n\sum_{k=1}^nc_n^k\sin\frac{k\pi}n\left(1-\cos\frac\pi n\right)=0$또한 정적분의 정의와 치환적분법, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=1$을 이용하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2c_n\sum_{k=1}^nc_n^k\cos\frac{k\pi}n\sin\frac\pi n=2\pi\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac\pi n}{\frac\pi n}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^ne^{-\frac{k\pi}n}\cos\frac{k\pi}n\frac1n=2\pi\int_0^1e^{-\pi x}\cos(\pi x)\,dx=2\int_0^\pi e^{-t}\cos t\,dt$부분적분법을 이용하여 $\displaystyle e^{-t}\cos t$의 부정적분을 구하면$\displaystyle \int e^{-t}\cos t\,dt=e^{-t}\sin t+\int e^{-t}\sin t\,dt=e^{-t}\sin t-e^{-t}\cos t-\int e^{-t}\cos t\,dt$이므로$\displaystyle \int e^{-t}\cos t\,dt=\frac12e^{-t}(\sin t-\cos t)+C$ ($\displaystyle C$는 적분 상수)　즉, $\displaystyle 2\int_0^\pi e^{-t}\cos t\,dt=\Biggl[e^{-t}(\sin t-\cos t)\Biggr]_0^\pi=1+e^{-\pi}$이로부터$\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nc_n^{k+1}(|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_{k+1}}|-|\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_k}|)=\lim_{n\to\infty}2c_n\sum_{k=1}^nc_n^k\sin\frac{k\pi}n\left(1-\cos\frac\pi n\right)+\lim_{n\to\infty}2c_n\sum_{k=1}^nc_n^k\cos\frac{k\pi}n\sin\frac\pi n=1+e^{-\pi}$