자연계열 (오전) 1번

1. 정적분을 이용하면 $\displaystyle V(t)=\int_1^t(\ln y)^2\,dy,\ W(t)=\frac{\sqrt3}{4}\int_0^{\ln t}(t-e^x)^2\,dx$이다. 부분적분을 이용하면$\displaystyle V(t)=\int_1^t(\ln y)^2\,dy=\Biggl[y(\ln y)^2\Biggr]_1^t-2\int_1^t\ln y\,dy=t(\ln t)^2-2\Biggl[y\ln y-y\Biggr]_1^t=t(\ln t)^2-2t\ln t+2t-2$이고$\displaystyle \begin{aligned}W(t)&=\frac{\sqrt3}{4}\int_0^{\ln t}(t-e^x)^2\,dx=\frac{\sqrt3}{4}\int_0^{\ln t}e^{2x}-2te^x+t^2\,dx\\&=\frac{\sqrt3}{4}\Biggl[\frac12e^{2x}-2te^x+t^2x\Biggr]_0^{\ln t}=\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac12t^2-2t^2+t^2\ln t-\frac12+2t\right)=\frac{\sqrt3}{4}\left(t^2\ln t-\frac32t^2+2t-\frac12\right)\end{aligned}$

따라서$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t}\frac{W(t)}{V(t)}=\lim_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t}\frac{\frac{\sqrt3}{4}\left(t^2\ln t-\frac32t^2+2t-\frac12\right)}{t(\ln t)^2-2t\ln t+2t-2}$이고, 분모 분자를 $\displaystyle t^2(\ln t)^2$로 나눠주면$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t}\frac{W(t)}{V(t)}=\lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt3}{4}\frac{1-\frac{3}{2\ln t}+\frac{2}{t\ln t}-\frac{1}{2t^2\ln t}}{1-\frac{2}{\ln t}+\frac{2}{(\ln t)^2}-\frac{2}{t(\ln t)^2}}=\frac{\sqrt3}{4}$가 된다.

2.곡선의 길이 $\displaystyle l(t)$를 구하면$\displaystyle \begin{aligned}l(t)&=\int_{-1}^t\sqrt{1+\left(\frac32(x+1)^{\frac12}\right)^2}\,dx=\int_{-1}^t\sqrt{1+\frac94(x+1)}\,dx\\&=\int_{-1}^t\sqrt{\frac94x+\frac{13}{4}}\,dx=\Biggl[\frac8{27}\left(\frac94x+\frac{13}{4}\right)^{\frac32}\Biggr]_{-1}^t=\frac8{27}\left(\frac94t+\frac{13}{4}\right)^{\frac32}-\frac8{27}\end{aligned}$이다. 한편, $\displaystyle d(t)$는$\displaystyle d(t)=\sqrt{t^2+\left((t+1)^{\frac32}\right)^2}=\sqrt{t^2+(t+1)^3}$이다.

따라서, $\displaystyle \frac{l(t)}{d(t)}=\frac8{27}\frac{\left(\frac94t+\frac{13}{4}\right)^{\frac32}-1}{\sqrt{t^2+(t+1)^3}}$이 된다. 분모와 분자를 $\displaystyle t^{\frac32}$로 나눈뒤 극한을 구하면$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{l(t)}{d(t)}=\lim_{t\to\infty}\frac8{27}\frac{\left(\frac94+\frac{13}{4}\cdot\frac1t\right)^{\frac32}-\left(\frac1t\right)^{\frac32}}{\sqrt{\frac1t+\left(1+\frac1t\right)^3}}=\frac8{27}\left(\frac94\right)^{\frac32}=1$이 된다.

3.양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=\frac{(x^2-12x+37)^2}{(2x+1)^2}$이라고 하자. 이 때, 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$를 구하면$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac{2(x^2-12x+37)(2x-12)(2x+1)^2-(x^2-12x+37)^2\,2(2x+1)2}{(2x+1)^4}\\&=\frac{4(x^2-12x+37)((x-6)(2x+1)-(x^2-12x+37))}{(2x+1)^3}=\frac{4(x^2-12x+37)(x^2+x-43)}{(2x+1)^3}\end{aligned}$이때, $\displaystyle x^2-12x+37=(x-6)^2+1>0$이고 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle (2x+1)^3>0$이므로 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호는 $\displaystyle x^2+x-43$에 의해 결정된다. $\displaystyle x^2+x-43$의 $\displaystyle x>0$인 근을 구하면 $\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{173}}2$이다.$\displaystyle 0<x<\frac{-1+\sqrt{173}}2$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle x>\frac{-1+\sqrt{173}}2$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{173}}2$에서 $\displaystyle f(x)$가 최소가 되는 것을 알 수 있다.

$\displaystyle 13<\sqrt{173}<14$를 이용하면 $\displaystyle 6<\frac{-1+\sqrt{173}}2<\frac{13}2<7$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle n=6$ 또는 $\displaystyle n=7$인 경우에 $\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$가 최소가 된다.$\displaystyle \frac{a_6}{b_6}=\frac1{13^2}<\frac4{15^2}=\frac{a_7}{b_7}$이므로 $\displaystyle n=6$일 때 최솟값 $\displaystyle \frac{a_6}{b_6}=\frac1{13^2}$을 갖는다.