자연계열 (오후2) 2번

1. 함수 $\displaystyle f(x)=a\sqrt{1+e^x}+\ln\left(\sqrt{1+e^x}-b\right)-\ln\left(\sqrt{1+e^x}+b\right)$를 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}\left(a+\frac1{\sqrt{1+e^x}-b}-\frac1{\sqrt{1+e^x}+b}\right)=\sqrt{1+e^x}$따라서$\displaystyle e^x\left[a+\frac{2b}{(1+e^x)-b^2}\right]=2(1+e^x)$즉$\displaystyle e^x[a\{(1+e^x)-b^2\}+2b]=2(1+e^x)\{(1+e^x)-b^2\}$전개하면$\displaystyle ae^{2x}+[a(1-b^2)+2b]e^x=2e^{2x}+2(2-b^2)e^x+2(1-b^2)$양변의 계수를 비교하면 $\displaystyle a=2,\ b=1$이다. 따라서 $\displaystyle a+b=3$

2. 제시문 <나>, 치환적분법 및 문제 1에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}g(k)&=\int_k^{k+e^{-k}}\sqrt{1+e^{2t}}\,dt=\frac12\int_{2k}^{2k+2e^{-k}}\sqrt{1+e^x}\,dx\quad\left(x=2t\ \frac{dt}{dx}=\frac12\right)\\&=\frac12(f(2k+2e^{-k})-f(2k))\end{aligned}$

<해 1> 평균값 정리에 의하여$\displaystyle g(k)=\frac12f^{\prime}(c)2e^{-k}=e^{-k}f^{\prime}(c)=e^{-k}\sqrt{1+e^c}$를 만족하는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (2k,2k+2e^{-k})$에 적어도 하나 존재한다. 구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=A^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가한다.Correction. 정의되지 않은 $\displaystyle A^{\prime}(x)$가 잘못 들어갔으며, 바른 식은 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}>0$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서$\displaystyle e^{-k}\sqrt{1+e^{2k}}<g(k)=e^{-k}\sqrt{1+e^c}<e^{-k}\sqrt{1+e^{2k+2e^{-k}}}$이고$\displaystyle \lim_{k\to\infty}e^{-k}\sqrt{1+e^{2k}}=\lim_{k\to\infty}\sqrt{1+e^{-2k}}=1,\quad\lim_{k\to\infty}e^{-k}\sqrt{1+e^{2k+2e^{-k}}}=\lim_{k\to\infty}\sqrt{e^{2e^{-k}}+e^{-2k}}=1$제시문 <다>에 의하여 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}g(k)=1$

3. $\displaystyle G(x)=\int_0^xf(t)dt$라 하면, $\displaystyle F(x)=G(x)+C$ ($\displaystyle C$는 상수)가 성립한다. 따라서$\displaystyle \lim_{x\to\infty}e^{-x}F(2x)=\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}F(x)=\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}(G(x)+C)=\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}G(x)$의 값을 구하면 된다. 문제 1에 의해$\displaystyle G(x)=2\int_0^x\sqrt{1+e^t}\,dt+\int_0^x\ln\left(\frac{\sqrt{1+e^t}-1}{\sqrt{1+e^t}+1}\right)dt=2(f(x)-f(0))+\int_0^x\ln\left(\frac{\sqrt{1+e^t}-1}{\sqrt{1+e^t}+1}\right)dt$ …… (6)

한편 구간 $\displaystyle (-\infty,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 증가하고, 구간 $\displaystyle (-1,\infty)$에서 $\displaystyle \frac{x-1}{x+1}$도 증가하므로 임의의 양수 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle \frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}\le\frac{\sqrt{1+e^t}-1}{\sqrt{1+e^t}+1}\le1$$\displaystyle -\ln\left(\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}\right)\le\ln\left(\frac{\sqrt{1+e^t}-1}{\sqrt{1+e^t}+1}\right)\le0$ …… (7)제시문 <라>에 의하여, 임의의 양수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle -\ln\left(\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}\right)x\le\int_0^x\ln\left(\frac{\sqrt{1+e^t}-1}{\sqrt{1+e^t}+1}\right)dt\le0$제시문 <다>에 의하여$\displaystyle 0=-\ln\left(\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}\right)\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}x\le\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}\int_0^x\ln\left(\frac{\sqrt{1+e^t}-1}{\sqrt{1+e^t}+1}\right)dt\le0$식 (6), (7)과 제시문 <다>에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}G(x)&=2\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}(f(x)-f(0))+\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}\int_0^x\ln\left(\frac{\sqrt{1+e^t}-1}{\sqrt{1+e^t}+1}\right)dt\\&=2\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}f(x)+0=2\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}f(x)\\&=4\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}\sqrt{1+e^x}+2\lim_{x\to\infty}e^{-x/2}\ln\left(\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right)\\&=4+0=4\end{aligned}$