자연계열 (오후1) 1번

한양대 서울캠퍼스 2021학년도 수시 자연계열 (오후1) 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2021su/jayeon_pm1_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

<가>학생 A와 B가 다음과 같이 야구방망이를 휘둘러서 공을 치는 놀이를 한다.(1) 공을 쳐서 날아간 거리가 50m 이상인 경우 2점, 공을 쳐서 날아간 거리가 50m 미만인 경우 1점, 공을 치지 못한 경우 0점을 얻는다.(2) 학생 A와 B가 다음과 같은 확률로 공을 친다.

	학생 A	학생 B
공을 쳐서 날아간 거리가 50m 이상일 확률	$\displaystyle \frac16$	$\displaystyle \frac14$
공을 쳐서 날아간 거리가 50m 미만일 확률	$\displaystyle \frac13$	$\displaystyle \frac1{12}$
공을 치지 못한 확률	$\displaystyle \frac12$	$\displaystyle \frac23$

<나>

<표준정규분포표>
$\displaystyle z$	$\displaystyle \mathrm P(0\le Z\le z)$
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772
2.5	0.4938

1. 학생 B가 야구방망이를 휘두르는 시행을 50회 반복했을 때 공을 친 횟수가 10 이상이고 20 이하일 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.

2. 학생 A가 야구방망이를 휘두르는 시행을 5회 반복했을 때 얻은 점수가 7점 이상일 확률을 구하시오.

3. 학생 A와 B가 야구방망이를 휘두르는 시행을 각각 2회 반복했을 때 학생 B가 학생 A보다 높은 점수를 얻을 확률을 구하시오.

해설강의 준비중

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+10점 · 이항분포로부터 근사적으로 정규분포를 이끌어냈는가?

1. 학생 B가 50번의 기회 중에 공을 친 횟수를 확률변수 $\displaystyle Y$ 라고 하자. 학생 B가 공을 칠 확률은 $\displaystyle \frac13$ 이므로 확률변수 $\displaystyle Y$ 는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(50,\frac13\right)$ 을 따른다. 이 때, $\displaystyle \frac{50}3,\frac{50\times2}3>5$ 이므로, 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(50,\frac13\right)$ 는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle N\left(\frac{50}3,\left(\frac{10}3\right)^2\right)$ 를 따른다.

+10점 · 표준화와 표준정규분포표를 통해 문제를 해결하였는가?

$\displaystyle \mathrm{P}(10\le Y\le20)=\mathrm{P}\left(\frac{10-\frac{50}3}{\frac{10}3}\le Z\le\frac{20-\frac{50}3}{\frac{10}3}\right)=\mathrm{P}(-2\le Z\le1)$ $\displaystyle =\mathrm{P}(-2\le Z\le0)+\mathrm{P}(0\le Z\le1)=\mathrm{P}(0\le Z\le2)+\mathrm{P}(0\le Z\le1)=0.4772+0.3413=0.8185$

+20점 · 득점에 따른 경우의 수를 정확히 파악했는가?

2. 다섯 번의 차례를 통해 7점 이상을 얻을 때, 가능한 득점의 경우의 수와 각 경우의 확률을 구하면 오른쪽 표와 같다.

점수	득점	경우의 수	확률
10점	2, 2, 2, 2, 2	1	$\displaystyle (\frac16)^5$
9점	2, 2, 2, 2, 1	$\displaystyle \frac{5!}{4!1!}=5$	$\displaystyle (\frac16)^4(\frac13)$
8점	2, 2, 2, 2, 0	$\displaystyle \frac{5!}{4!1!}=5$	$\displaystyle (\frac16)^4(\frac12)$
8점	2, 2, 2, 1, 1	$\displaystyle \frac{5!}{3!2!}=10$	$\displaystyle (\frac16)^3(\frac13)^2$
7점	2, 2, 2, 1, 0	$\displaystyle \frac{5!}{3!1!1!}=20$	$\displaystyle (\frac16)^3(\frac13)(\frac12)$
7점	2, 2, 1, 1, 1	$\displaystyle \frac{5!}{2!3!}=10$	$\displaystyle (\frac16)^2(\frac13)^3$

+20점 · 각 경우의 확률을 통해 구하고자 하는 확률을 정확히 구했는가?

따라서 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle 1\times\left(\frac16\right)^5+5\times\left(\frac16\right)^4\left(\frac13\right)+5\times\left(\frac16\right)^4\left(\frac12\right)$ $\displaystyle +10\times\left(\frac16\right)^3\left(\frac13\right)^2+20\times\left(\frac16\right)^3\left(\frac13\right)\left(\frac12\right)+10\times\left(\frac16\right)^2\left(\frac13\right)^3$ $\displaystyle =\frac1{6^5}(1+10+15+40+120+80)=\frac{266}{6^5}=\frac{133}{3888}$ 이다.

+20점 · 두 학생이 받아야 하는 점수에 대한 경우의 수를 정확히 파악했는가?

3.두 차례에 두 학생이 받을 수 있는 점수에 따른 경우의 수와 확률은 다음과 같다.

점수	득점	경우의 수	학생 A의 확률	학생 B의 확률
0	0, 0	1	$\displaystyle (\frac12)^2$	$\displaystyle (\frac23)^2$
1	0, 1	2	$\displaystyle \frac12\times\frac13=\frac16$	$\displaystyle \frac23\times\frac1{12}=\frac1{18}$
2	2, 0	2	$\displaystyle \frac16\times\frac12=\frac1{12}$	$\displaystyle \frac14\times\frac23=\frac16$
2	1, 1	1	$\displaystyle (\frac13)^2$	$\displaystyle (\frac1{12})^2$
3	2, 1	2	$\displaystyle \frac16\times\frac13=\frac1{18}$	$\displaystyle \frac14\times\frac1{12}=\frac1{48}$
4	2, 2	1	$\displaystyle (\frac16)^2$	$\displaystyle (\frac14)^2$

학생 B가 학생 A보다 높은 점수를 받기 위해서는 다음과 같이 득점을 하여야 한다.

학생 A의 득점	0				1			2		3
학생 B의 득점	1	2	3	4	2	3	4	3	4	4

+20점 · 각 경우의 확률을 통해 구하고자 하는 확률을 정확히 구했는가?

(학생 A가 0점일 확률) $\displaystyle \times\left(\sum_{j=1}^{4}\text{(학생 B가 }j\text{점일 확률)}\right)$ $\displaystyle = \left( \frac{{1}}{2} \right)^{2} \left\{ 2 \times \frac{{1}}{18} + 2 \times \frac{{1}}{6} + \left( \frac{{1}}{12} \right)^{2} + 2 \times \frac{{1}}{48} + \left( \frac{{1}}{4} \right)^{2} \right\}$ $\displaystyle = \left( \frac{{1}}{2} \right)^{2} \frac{{\left( 16 + 48 + 1 + 6 + 9 \right)}}{12^{2}} = \frac{{80}}{2^{6} \times 3^{2}} = \frac{{5}}{2^{2} \times 3^{2}}$

(학생 A가 1점일 확률) $\displaystyle \times\left(\sum_{j=2}^{4}\text{(학생 B가 }j\text{점일 확률)}\right)$ $\displaystyle = \left( 2 \times \frac{{1}}{6} \right) \left\{ 2 \times \frac{{1}}{6} + \left( \frac{{1}}{12} \right)^{2} + 2 \times \frac{{1}}{48} + \left( \frac{{1}}{4} \right)^{2} \right\}$ $\displaystyle = \left( \frac{{1}}{3} \right) \frac{{\left( 48 + 1 + 6 + 9 \right)}}{12^{2}} = \frac{{64}}{2^{4} \times 3^{3}} = \frac{{2^{2}}}{3^{3}}$

(학생 A가 2점일 확률) $\displaystyle \times\left(\sum_{j=3}^{4}\text{(학생 B가 }j\text{점일 확률)}\right)$ $\displaystyle = \left\{ 2 \times \frac{{1}}{12} + \left( \frac{{1}}{3} \right)^{2} \right\} \left\{ 2 \times \frac{{1}}{48} + \left( \frac{{1}}{4} \right)^{2} \right\}$ $\displaystyle = \left( \frac{{5}}{18} \right) \frac{{2 + 3}}{48} = \frac{{25}}{2^{5} \times 3^{3}} = \frac{{5^{2}}}{2^{5} \times 3^{3}}$

(학생 A가 3점일 확률) $\displaystyle \times$ (학생 B가 4점일 확률) $\displaystyle =\left(2\times\frac1{18}\right)\left(\frac14\right)^2=\frac1{2^4\times3^2}$ 따라서 학생 B의 득점이 학생 A보다 클 확률은 $\displaystyle \frac5{2^2\times3^2}+\frac{2^2}{3^3}+\frac{5^2}{2^5\times3^3}+\frac1{2^4\times3^2}=\frac{120+128+25+6}{2^5\times3^3}=\frac{279}{2^5\times3^3}=\frac{31}{2^5\times3}=\frac{31}{96}$

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