수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 (오후1) 1번

한양대 서울캠퍼스 2021학년도 수시 자연계열 (오후1) 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2021su/jayeon_pm1_1

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한양대 서울캠퍼스 2021학년도 수시 자연계열 (오후1) 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2021su/jayeon_pm1_1

+10점 · 이항분포로부터 근사적으로 정규분포를 이끌어냈는가?

1. 학생 B가 50번의 기회 중에 공을 친 횟수를 확률변수 Y\displaystyle Y라고 하자. 학생 B가 공을 칠 확률은 13\displaystyle \frac13이므로 확률변수 Y\displaystyle Y는 이항분포 B(50,13)\displaystyle \mathrm{B}\left(50,\frac13\right)을 따른다. 이 때, 503,50×23>5\displaystyle \frac{50}3,\frac{50\times2}3>5이므로, 이항분포 B(50,13)\displaystyle \mathrm{B}\left(50,\frac13\right)는 근사적으로 정규분포 N(503,(103)2)\displaystyle N\left(\frac{50}3,\left(\frac{10}3\right)^2\right)를 따른다.

+10점 · 표준화와 표준정규분포표를 통해 문제를 해결하였는가?

P(10≤Y≤20)=P(10−503103≤Z≤20−503103)=P(−2≤Z≤1)\displaystyle \mathrm{P}(10\le Y\le20)=\mathrm{P}\left(\frac{10-\frac{50}3}{\frac{10}3}\le Z\le\frac{20-\frac{50}3}{\frac{10}3}\right)=\mathrm{P}(-2\le Z\le1)=P(−2≤Z≤0)+P(0≤Z≤1)=P(0≤Z≤2)+P(0≤Z≤1)=0.4772+0.3413=0.8185\displaystyle =\mathrm{P}(-2\le Z\le0)+\mathrm{P}(0\le Z\le1)=\mathrm{P}(0\le Z\le2)+\mathrm{P}(0\le Z\le1)=0.4772+0.3413=0.8185

+20점 · 득점에 따른 경우의 수를 정확히 파악했는가?

2. 다섯 번의 차례를 통해 7점 이상을 얻을 때, 가능한 득점의 경우의 수와 각 경우의 확률을 구하면 오른쪽 표와 같다.

점수득점경우의 수확률
10점2, 2, 2, 2, 21(16)5\displaystyle (\frac16)^5
9점2, 2, 2, 2, 15!4!1!=5\displaystyle \frac{5!}{4!1!}=5(16)4(13)\displaystyle (\frac16)^4(\frac13)
8점2, 2, 2, 2, 05!4!1!=5\displaystyle \frac{5!}{4!1!}=5(16)4(12)\displaystyle (\frac16)^4(\frac12)
2, 2, 2, 1, 15!3!2!=10\displaystyle \frac{5!}{3!2!}=10(16)3(13)2\displaystyle (\frac16)^3(\frac13)^2
7점2, 2, 2, 1, 05!3!1!1!=20\displaystyle \frac{5!}{3!1!1!}=20(16)3(13)(12)\displaystyle (\frac16)^3(\frac13)(\frac12)
2, 2, 1, 1, 15!2!3!=10\displaystyle \frac{5!}{2!3!}=10(16)2(13)3\displaystyle (\frac16)^2(\frac13)^3

+20점 · 각 경우의 확률을 통해 구하고자 하는 확률을 정확히 구했는가?

따라서 구하고자 하는 확률은1×(16)5+5×(16)4(13)+5×(16)4(12)\displaystyle 1\times\left(\frac16\right)^5+5\times\left(\frac16\right)^4\left(\frac13\right)+5\times\left(\frac16\right)^4\left(\frac12\right)+10×(16)3(13)2+20×(16)3(13)(12)+10×(16)2(13)3\displaystyle +10\times\left(\frac16\right)^3\left(\frac13\right)^2+20\times\left(\frac16\right)^3\left(\frac13\right)\left(\frac12\right)+10\times\left(\frac16\right)^2\left(\frac13\right)^3=165(1+10+15+40+120+80)=26665=1333888\displaystyle =\frac1{6^5}(1+10+15+40+120+80)=\frac{266}{6^5}=\frac{133}{3888}이다.

+20점 · 두 학생이 받아야 하는 점수에 대한 경우의 수를 정확히 파악했는가?

3.두 차례에 두 학생이 받을 수 있는 점수에 따른 경우의 수와 확률은 다음과 같다.

점수득점경우의 수학생 A의 확률학생 B의 확률
00, 01(12)2\displaystyle (\frac12)^2(23)2\displaystyle (\frac23)^2
10, 1212×13=16\displaystyle \frac12\times\frac13=\frac1623×112=118\displaystyle \frac23\times\frac1{12}=\frac1{18}
22, 0216×12=112\displaystyle \frac16\times\frac12=\frac1{12}14×23=16\displaystyle \frac14\times\frac23=\frac16
1, 11(13)2\displaystyle (\frac13)^2(112)2\displaystyle (\frac1{12})^2
32, 1216×13=118\displaystyle \frac16\times\frac13=\frac1{18}14×112=148\displaystyle \frac14\times\frac1{12}=\frac1{48}
42, 21(16)2\displaystyle (\frac16)^2(14)2\displaystyle (\frac14)^2

+20점 · 두 학생이 받아야 하는 점수에 대한 경우의 수를 정확히 파악했는가?

학생 B가 학생 A보다 높은 점수를 받기 위해서는 다음과 같이 득점을 하여야 한다.

학생 A의 득점0123
학생 B의 득점1234234344

+20점 · 각 경우의 확률을 통해 구하고자 하는 확률을 정확히 구했는가?

(학생 A가 0점일 확률)×(∑j=14(학생 B가 j점일 확률))\displaystyle \times\left(\sum_{j=1}^{4}\text{(학생 B가 }j\text{점일 확률)}\right)=(12)2{2×118+2×16+(112)2+2×148+(14)2}\displaystyle = \left( \frac{{1}}{2} \right)^{2} \left\{ 2 \times \frac{{1}}{18} + 2 \times \frac{{1}}{6} + \left( \frac{{1}}{12} \right)^{2} + 2 \times \frac{{1}}{48} + \left( \frac{{1}}{4} \right)^{2} \right\}=(12)2(16+48+1+6+9)122=8026×32=522×32\displaystyle = \left( \frac{{1}}{2} \right)^{2} \frac{{\left( 16 + 48 + 1 + 6 + 9 \right)}}{12^{2}} = \frac{{80}}{2^{6} \times 3^{2}} = \frac{{5}}{2^{2} \times 3^{2}}

(학생 A가 1점일 확률)×(∑j=24(학생 B가 j점일 확률))\displaystyle \times\left(\sum_{j=2}^{4}\text{(학생 B가 }j\text{점일 확률)}\right)=(2×16){2×16+(112)2+2×148+(14)2}\displaystyle = \left( 2 \times \frac{{1}}{6} \right) \left\{ 2 \times \frac{{1}}{6} + \left( \frac{{1}}{12} \right)^{2} + 2 \times \frac{{1}}{48} + \left( \frac{{1}}{4} \right)^{2} \right\}=(13)(48+1+6+9)122=6424×33=2233\displaystyle = \left( \frac{{1}}{3} \right) \frac{{\left( 48 + 1 + 6 + 9 \right)}}{12^{2}} = \frac{{64}}{2^{4} \times 3^{3}} = \frac{{2^{2}}}{3^{3}}

(학생 A가 2점일 확률)×(∑j=34(학생 B가 j점일 확률))\displaystyle \times\left(\sum_{j=3}^{4}\text{(학생 B가 }j\text{점일 확률)}\right)={2×112+(13)2}{2×148+(14)2}\displaystyle = \left\{ 2 \times \frac{{1}}{12} + \left( \frac{{1}}{3} \right)^{2} \right\} \left\{ 2 \times \frac{{1}}{48} + \left( \frac{{1}}{4} \right)^{2} \right\}=(518)2+348=2525×33=5225×33\displaystyle = \left( \frac{{5}}{18} \right) \frac{{2 + 3}}{48} = \frac{{25}}{2^{5} \times 3^{3}} = \frac{{5^{2}}}{2^{5} \times 3^{3}}

(학생 A가 3점일 확률)×\displaystyle \times(학생 B가 4점일 확률)=(2×118)(14)2=124×32\displaystyle =\left(2\times\frac1{18}\right)\left(\frac14\right)^2=\frac1{2^4\times3^2}따라서 학생 B의 득점이 학생 A보다 클 확률은 522×32+2233+5225×33+124×32=120+128+25+625×33=27925×33=3125×3=3196\displaystyle \frac5{2^2\times3^2}+\frac{2^2}{3^3}+\frac{5^2}{2^5\times3^3}+\frac1{2^4\times3^2}=\frac{120+128+25+6}{2^5\times3^3}=\frac{279}{2^5\times3^3}=\frac{31}{2^5\times3}=\frac{31}{96}

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