의예과 2번

1. 직선 $\displaystyle l$에 접하는 두 원의 반지름이 $\displaystyle a,b$라고 할 때,이 두 원에 접하고 $\displaystyle l$에 접하는 원의 반지름 $\displaystyle r$을 구하면$\displaystyle (a+b)^2=(a-b)^2+d^2$이므로 $\displaystyle d=2\sqrt{ab}$이고,$\displaystyle d=\sqrt{(a+b)^2-(a-r)^2}+\sqrt{(b+r)^2-(b-r)^2}=2\sqrt{ab}$Correction. 첫 번째 제곱근의 $\displaystyle (a+b)^2$는 $\displaystyle (a+r)^2$의 오기이다. 외접하는 두 원의 반지름이 $\displaystyle a$, $\displaystyle r$이므로 중심 사이의 거리는 $\displaystyle a+r$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.에서$\displaystyle \sqrt r=\frac1{\frac1{\sqrt a}+\frac1{\sqrt b}}$ … (★)

이제 원 $\displaystyle C,\ D$에서 시작하여 $\displaystyle C_1,C_2,...$의 각각의 반지름 $\displaystyle r_1,r_2,...$를 생각할 때 $\displaystyle c_n=\frac1{\sqrt{r_n}}$으로 정의하고 (★)를 이용하여 $\displaystyle c_n$을 계산하자.원 $\displaystyle C_n$이 직선 $\displaystyle l$과 원 $\displaystyle C_k,\ C_m$에 접하므로$\displaystyle \frac1{\sqrt{r_n}}=\frac1{\sqrt{r_k}}+\frac1{\sqrt{r_m}}=c_n=c_k+c_m$$\displaystyle A$의 영역 중 가장 큰 원부터 채워 넣어야 하므로 $\displaystyle c_n$이 작은 순서대로 위 계산을 반복해 주면 된다. 다음은 위에서 설명한 과정을 그림으로 나타낸 것이다.

따라서 $\displaystyle c_{12}=c_{13}=c_{14}=c_{15}=7$이므로, $\displaystyle r_{12}=\left(\frac17\right)^2=\frac1{49}$이다

2. 제시문 <나>에 의하여 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 감소한다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 일대일 함수이다. $\displaystyle u=f(x)$로 치환하면$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=\int_{\frac1n}^{2021n}f(x)\,dx=\int_{f\left(\frac1n\right)}^{f(2021n)}u\frac{du}{f^{\prime}(x)}\\&=-\int_{f\left(\frac1n\right)}^{f(2021n)}u\frac{du}{f(x)\sqrt{2-f(x)}}\\&=-\int_{f\left(\frac1n\right)}^{f(2021n)}\frac{du}{\sqrt{2-u}}=2\Biggl[\sqrt{2-u}\Biggr]_{f\left(\frac1n\right)}^{f(2021n)}\\&=2\left(\sqrt{2-f(2021n)}-\sqrt{2-f\left(\frac1n\right)}\right)\end{aligned}$

가정에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt{2-f\left(\frac1n\right)}=\sqrt{2-\lim_{t\to0+}f(t)}=0$이고, 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle 0<f(x)<2$이고 감소하므로 함수 $\displaystyle \sqrt{2-f(x)}$는 $\displaystyle 0<\sqrt{2-f(x)}<\sqrt2$이고 증가한다.자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle c_n=\int_1^n\sqrt{2-f(x)}\,dx$라 하면,$\displaystyle c_n\ge\int_1^n\sqrt{2-f(1)}\,dx=\sqrt{2-f(1)}(n-1)$.한편$\displaystyle c_n=-\int_1^n\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=-\Biggl[\ln f(x)\Biggr]_1^n=-(\ln f(n)-\ln f(1)),$즉 $\displaystyle \ln f(n)-\ln f(1)\le-\sqrt{2-f(1)}(n-1)$따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln f(n)=-\infty$ 또는 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(2021n)=\lim_{n\to\infty}f(n)=0$.그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=2\lim_{n\to\infty}\sqrt{2-f(2021n)}=2\sqrt2$

3. <해 1> 이항정리에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}b_n&=\int_0^1e^{-(n+2)x}\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm C_k e^{(n-k)x}\,dx\\&=\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm C_k\int_0^1e^{-(k+2)x}\,dx\quad(t=e^{-x}\text{으로 치환})\\&=\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm C_k\int_{e^{-1}}^1t^{k+1}\,dt=\int_{e^{-1}}^1t(t+1)^n\,dt\end{aligned}$한편, 부분적분법에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_{e^{-1}}^1t(t+1)^n\,dt&=\Biggl[\frac{t(t+1)^{n+1}}{n+1}\Biggr]_{e^{-1}}^1-\frac1{n+1}\int_{e^{-1}}^1(t+1)^{n+1}\,dt\\&=\frac{2^{n+1}-e^{-1}(1+e^{-1})^{n+1}}{n+1}-\frac{2^{n+2}-(1+e^{-1})^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\end{aligned}$따라서$\displaystyle \begin{aligned}\frac n{2^n}b_n&=\frac{2n}{n+1}-\frac{e^{-1}(1+e^{-1})n}{n+1}\left(\frac{1+e^{-1}}2\right)^n\\&\quad-\frac{4n}{(n+1)(n+2)}+\frac{(1+e^{-1})^2n}{(n+1)(n+2)}\left(\frac{1+e^{-1}}2\right)^n\end{aligned}$ … (★★)

제시문 <다>에 의하여 $\displaystyle \frac{1+e^{-1}}2\in(0,1)$이므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+e^{-1}}2\right)^n=0$그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac n{2^n}b_n=2$