자연계열 (오전) 2번

1.$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1-abx^2}{x^2}\left\{\frac1{\left(abx+\frac1a+\frac1b+\frac1x\right)^2}-\frac1{ab}\right\}$

$\displaystyle a,\ b,\ x$는 1 이하이므로, $\displaystyle 1-abx^2\ge0$이고,$\displaystyle \left(abx+\frac1a+\frac1b+\frac1x\right)^2\ge9,\quad\frac1{\left(abx+\frac1a+\frac1b+\frac1x\right)^2}\le\frac19,\quad\frac1{ab}\ge1$이므로 $\displaystyle \left\{\frac1{\left(abx+\frac1a+\frac1b+\frac1x\right)^2}-\frac1{ab}\right\}\le0,$따라서 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0$이다.

2.$\displaystyle g(1)=h\left(a+2+\frac1a\right)$이 되도록 $\displaystyle h(x)=x+\frac1x$라고 정의하자. 단 $\displaystyle a+2+\frac1a\ge4$이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x\ge4$에서 정의한다.이제 $\displaystyle h^{\prime}(x)=1-\frac1{x^2}$이고 $\displaystyle \frac1{x^2}\le\frac1{16}\le1$이므로, $\displaystyle h^{\prime}(x)\ge0$이다.$\displaystyle \therefore h\left(2+a+\frac1a\right)\ge h(4)=4+\frac14=\frac{17}4$

따라서 $\displaystyle f(c)\ge f(1)=g(b)\ge g(1)=h\left(a+\frac1a+2\right)\ge h(4)=\frac{17}4$이고 이 값은 $\displaystyle a=b=c=1$일 때의 값이므로 $\displaystyle M$의 최대값은 $\displaystyle \frac{17}4$.

3. 일반적으로 양의 실수 $\displaystyle A,B$에 대해 아래 식에 제시문과 문항2의 과정을 반복하면,$\displaystyle A(a+b+c+d)+\frac B{abc+abd+acd+bcd}=A\left(a+b+c+\frac1{abc}\right)+\frac B{abc+\frac1a+\frac1b+\frac1c}$$\displaystyle f(x)=A\left(a+b+x+\frac1{abx}\right)+\frac B{abx+\frac1a+\frac1b+\frac1x},\quad f^{\prime}(x)=\frac{1-abx^2}{x^2}\left\{\frac B{\left(abx+\frac1a+\frac1b+\frac1x\right)^2}-\frac A{ab}\right\}$$\displaystyle \left(abx+\frac1a+\frac1b+\frac1x\right)^2\ge9,\quad\frac B{\left(abx+\frac1a+\frac1b+\frac1x\right)^2}\le\frac B9,\quad\frac A{ab}\ge A$이므로 $\displaystyle A\ge\frac B9$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0$.$\displaystyle g(x)=A\left(a+x+1+\frac1{ax}\right)+\frac B{ax+\frac1a+\frac1x+1},\quad g^{\prime}(x)=\frac{1-ax^2}{x^2}\left\{\frac B{\left(ax+\frac1a+\frac1x+1\right)^2}-\frac Aa\right\}$$\displaystyle A\ge\frac B9$이면, $\displaystyle g^{\prime}(x)\le0$이다.$\displaystyle h(x)=Ax+\frac Bx,\ x\ge4,\ h^{\prime}(x)=A-\frac B{x^2}$$\displaystyle \frac B{x^2}\le\frac B{16}\le\frac B9$이므로, $\displaystyle \frac B9\le A$이면 $\displaystyle h^{\prime}(x)\ge0$이다.$\displaystyle A=2,\ B=17$일 때 $\displaystyle \frac{17}9\le2$이므로 각 단계에 필요한 부등식을 모두 만족한다.

$\displaystyle \therefore h\left(2+a+\frac1a\right)\ge h(4)=4A+\frac B4=8+\frac{17}4=\frac{49}4$가 $\displaystyle K$의 최대값이 된다.