상경계열 2번

1. 모든 경우는 아래의 6가지로 분류가능하다.(1) 반시계 방향으로 5회, 시계 방향으로 0회 회전(2) 반시계 방향으로 4회, 시계 방향으로 1회 회전(3) 반시계 방향으로 3회, 시계 방향으로 2회 회전(4) 반시계 방향으로 2회, 시계 방향으로 3회 회전(5) 반시계 방향으로 1회, 시계 방향으로 4회 회전(6) 반시계 방향으로 0회, 시계 방향으로 5회 회전각각의 경우가 일어날 확률은 (1) 경우 $\displaystyle \left(\frac13\right)^5$, (2) 경우 $\displaystyle {}_{5}\mathrm C_4\left(\frac13\right)^4\left(\frac23\right)=\frac{10}{3^5}$, (3) 경우 $\displaystyle {}_{5}\mathrm C_3\left(\frac13\right)^3\left(\frac23\right)^2=\frac{40}{3^5}$,(4) 경우 $\displaystyle {}_{5}\mathrm C_2\left(\frac13\right)^2\left(\frac23\right)^3=\frac{80}{3^5}$, (5) 경우 $\displaystyle {}_{5}\mathrm C_1\left(\frac13\right)\left(\frac23\right)^4=\frac{80}{3^5}$, (6) 경우 $\displaystyle \left(\frac23\right)^5=\frac{32}{3^5}$이다.점A(0,2)는 1회 시행으로 $\displaystyle 30^\circ$씩 회전하므로 5회 시행으로 점A와 점B(1,0)가 이루는 각의 크기는(1) 경우: $\displaystyle 120^\circ$, (2) 경우: $\displaystyle 180^\circ$, (3) 경우: $\displaystyle 120^\circ$, (4) 경우: $\displaystyle 60^\circ$, (5) 경우: $\displaystyle 0^\circ$, (6) 경우: $\displaystyle 60^\circ$이므로 각의 크기가 $\displaystyle 0^\circ$가 될 확률은 $\displaystyle \frac{80}{3^5}$, $\displaystyle 60^\circ$가 될 확률은 $\displaystyle \frac{112}{3^5}$, $\displaystyle 120^\circ$가 될 확률은 $\displaystyle \frac{41}{3^5}$, $\displaystyle 180^\circ$가 될 확률은 $\displaystyle \frac{10}{3^5}$이다.

또한,(1) 두 점 사이 각의 크기가 $\displaystyle 0^\circ$일 때, 점A는 (2,0)에 위치하므로 두 점 사이의 거리는 1이다.(2) 두 점 사이 각의 크기가 $\displaystyle 180^\circ$일 때, 점A는 (-2,0)에 위치하므로 두 점 사이의 거리는 3이다.(3) 두 점 사이 각의 크기가 $\displaystyle 60^\circ$일 때, 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{1^2+2^2-2\cdot2\cos60^\circ}=\sqrt3$이다.(4) 두 점 사이 각의 크기가 $\displaystyle 120^\circ$일 때, 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{1^2+2^2-2\cdot2\cos120^\circ}=\sqrt7$이다.

따라서, $\displaystyle \mathrm E(X)=1\cdot\frac{80}{3^5}+\sqrt3\cdot\frac{112}{3^5}+\sqrt7\cdot\frac{41}{3^5}+3\cdot\frac{10}{3^5}=\frac{110+112\sqrt3+41\sqrt7}{3^5}$이다.답: $\displaystyle \frac{110+112\sqrt3+41\sqrt7}{3^5}$

2. 조건 (나), (다), (마)로부터 $\displaystyle b_{n+1}=b_n+2\sqrt{b_n}+1=(\sqrt{b_n}+1)^2$를 유도할 수 있다. 또한, $\displaystyle \sqrt{b_{n+1}}=\sqrt{b_n}+1$이므로 수열 $\displaystyle \{\sqrt{b_n}\}$은 첫째항이 $\displaystyle \sqrt{b_1}=1$이고 공차가 1인 등차수열이다. 즉, $\displaystyle \sqrt{b_n}=n$이고 $\displaystyle b_n=n^2$이다.Correction. 조건 (마)는 조건 (라)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.조건 (다), (마)로부터 $\displaystyle c_n=\frac1n$임을 알 수 있고,

조건 (가)로부터 $\displaystyle a_{n+1}=3\left(a_n+2a_nc_n+\frac{a_n}{b_n}\right)=3\left(1+\frac2n+\frac1{n^2}\right)a_n=3\left(\frac{n+1}n\right)^2a_n$을 구할 수 있다. 또한, $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{(n+1)^2}=3\left(\frac{a_n}{n^2}\right)$이므로수열 $\displaystyle \left\{\frac{a_n}{n^2}\right\}$은 첫째항이 $\displaystyle a_1=3$이고 공비가 3인 등비수열이다. 즉, $\displaystyle \frac{a_n}{n^2}=3^n$이고, $\displaystyle a_n=n^23^n$이다. 따라서,

$\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{nc_{n+1}}{a_n}3^{\sqrt{b_{n+1}}}=\sum_{n=1}^{2021}\frac{n\left(\frac1{n+1}\right)}{n^23^n}3^{n+1}=\sum_{n=1}^{2021}\frac3{(n+1)n}=\sum_{n=1}^{2021}\left(\frac3n-\frac3{n+1}\right)=3-\frac3{2022}$이다. 답: $\displaystyle 3-\frac3{2022}$

3. 변 EF위에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{ER}}=t$인 점 R을 잡으면 삼각형 PQR은 정삼각형이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{3+(1-t)^2}$이므로(삼각형 PQR의 넓이) = 3 · (삼각형 OPR의 넓이)$\displaystyle =3\cdot\frac12\left(\sqrt{3+(1-t)^2}\right)^2\cdot\sin\frac\pi3=\frac{3\sqrt3}4(t^2-2t+4)$$\displaystyle f(t)=\frac13$ · (정육각형 ABCDEF의 넓이 − 삼각형 PQR의 넓이)$\displaystyle =\frac13\left(6\sqrt3-\frac{3\sqrt3}4(t^2-2t+4)\right)$$\displaystyle =-\frac{\sqrt3}4t^2+\frac{\sqrt3}2t+\sqrt3$

$\displaystyle \int_0^2f(t)\,dt=\frac{7\sqrt3}3$