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자연계열 (오후1) 2번

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한양대 서울캠퍼스 2021학년도 수시 자연계열 (오후1) 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2021su/jayeon_pm1_2

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[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD가 있다.

<가> 삼각형 PAQ의 두 꼭짓점 P와 Q는 각각 변 BC와 CD 위에 있고, ∠PAQ=π4\displaystyle \angle\mathrm{PAQ}=\frac\pi4이다. 선분 AD와 AQ가 이루는 각의 크기를 t\displaystyle t라 하자. (단, 0≤t≤π4\displaystyle 0\le t\le\frac\pi4)

정사각형 ABCD 안의 삼각형 PAQ와 각 t

<나> 삼각형 RST의 세 꼭짓점 R, S, T는 각각 변 AB, CD, DA 위에 있다. 선분 AD와 TS가 이루는 각의 크기를 s\displaystyle s라 하자. (단, 0≤s≤π2\displaystyle 0\le s\le\frac\pi2)

정사각형 ABCD 안의 삼각형 RST와 각 s

1. 제시문 <가>에서 주어진 삼각형 PAQ의 꼭짓점 A에서 변 PQ에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 각의 크기 t\displaystyle t (0≤t≤π4\displaystyle 0\le t\le\frac\pi4)가 변함에 따라 점 H가 이루는 곡선의 길이를 구하시오.

2. 제시문 <가>에서 주어진 삼각형 PAQ의 넓이를 t\displaystyle t에 대한 식 f(t)\displaystyle f(t)로 나타낼 때,∫0π4f(t) dt\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}f(t)\,dt의 값을 구하시오.

3. 제시문 <나>에서 주어진 삼각형 RST가 정삼각형이 되기 위한 s\displaystyle s의 최솟값을 s0\displaystyle s_0, 최댓값을 s1\displaystyle s_1이라 하자. 정삼각형 RST의 넓이를 s\displaystyle s에 대한 식 g(s)\displaystyle g(s)로 나타낼 때,∫s0s1g(s) ds\displaystyle \int_{s_0}^{s_1}g(s)\,ds의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

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+20점 · 삼각형 PAQ의 밑변 PQ에 대한 높이 AH를 구했는가?

1. 오른쪽 첫 번째 그림에서 ∠DAQ=t, ∠HAQ=s\displaystyle \angle\mathrm{DAQ}=t,\ \angle\mathrm{HAQ}=s라 하면, ∠BAP=π4−t, ∠HAP=π4−s\displaystyle \angle\mathrm{BAP}=\frac\pi4-t,\ \angle\mathrm{HAP}=\frac\pi4-s이다.cos⁡scos⁡t=AH‾=cos⁡(π4−s)cos⁡(π4−t)=cos⁡π4cos⁡s+sin⁡π4sin⁡scos⁡π4cos⁡t+sin⁡π4sin⁡t=cos⁡s+sin⁡scos⁡t+sin⁡t\displaystyle \frac{\cos s}{\cos t}=\overline{\mathrm{AH}}=\frac{\cos\left(\frac\pi4-s\right)}{\cos\left(\frac\pi4-t\right)}=\frac{\cos\frac\pi4\cos s+\sin\frac\pi4\sin s}{\cos\frac\pi4\cos t+\sin\frac\pi4\sin t}=\frac{\cos s+\sin s}{\cos t+\sin t}이고, 정리하면 tan⁡t=tan⁡s\displaystyle \tan t=\tan s, 즉 t=s\displaystyle t=s이므로삼각형 DAQ와 삼각형 HAQ는 합동이다.따라서 AH‾=AD‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{AD}}=1이다.

합동인 삼각형 DAQ와 HAQ 및 수선 AH
+10점 · 수선의 발 H가 이루는 곡선의 길이를 구했는가?

따라서 점 H가 이루는 곡선은 반지름 1인 사분원 이므로 길이는 π2\displaystyle \frac\pi2이다.

+20점 · 삼각형 PAQ의 넓이를 각의 크기 t\displaystyle t에 대한 식 f(t)\displaystyle f(t)로 표현했는가?

2. 오른쪽 그림에서 PQ‾=(1−tan⁡t)2+(1−tan⁡(π4−t))2=1+tan⁡2t1+tan⁡t\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(1-\tan t)^2+\left(1-\tan\left(\frac\pi4-t\right)\right)^2}=\frac{1+\tan^2t}{1+\tan t}이므로,삼각형 PAQ의 넓이 f(t)\displaystyle f(t)는 f(t)=12⋅AH‾⋅PQ‾=12⋅1+tan⁡2t1+tan⁡t\displaystyle f(t)=\frac12\cdot\overline{\mathrm{AH}}\cdot\overline{\mathrm{PQ}}=\frac12\cdot\frac{1+\tan^2t}{1+\tan t}

정사각형의 변과 삼각형 PAQ의 길이
+10점 · 정적분 ∫0π4f(t) dt\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}f(t)\,dt를 구했는가?

따라서 (1+tan⁡t=s\displaystyle 1+\tan t=s로 치환해서)∫0π4f(t) dt=12∫0π41+tan⁡2t1+tan⁡t dt=12∫121s ds=12ln⁡2 (=ln⁡2)\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}f(t)\,dt=\frac12\int_0^{\frac\pi4}\frac{1+\tan^2t}{1+\tan t}\,dt=\frac12\int_1^2\frac1s\,ds=\frac12\ln2\ (=\ln\sqrt2)이다.

+10점 · 각의 크기 s\displaystyle s의 최솟값 s0\displaystyle s_0와 최댓값 s1\displaystyle s_1을 구했는가?

3. 오른쪽 그림에서 s0=π4 (=45∘), s1=5π12 (=75∘)\displaystyle s_0=\frac\pi4\ (=45^\circ),\ s_1=\frac{5\pi}{12}\ (=75^\circ)이다.

각 s가 최솟값과 최댓값을 갖는 두 정삼각형
+20점 · 삼각형 RST의 넓이를 각의 크기 s\displaystyle s에 대한 식 g(s)\displaystyle g(s)로 표현했는가?

π4≤s≤5π12\displaystyle \frac\pi4\le s\le\frac{5\pi}{12}인 s\displaystyle s에 대해, 정삼각형 RST의 한 변의 길이를 a\displaystyle a라고 하면,오른쪽 아래 그림에서 acos⁡(23π−s)+acos⁡s=1\displaystyle a\cos\left(\frac23\pi-s\right)+a\cos s=1임을 알 수 있고, 따라서a=1cos⁡(23π−s)+cos⁡s=1cos⁡23πcos⁡s+sin⁡23πsin⁡s+cos⁡s=1sin⁡(s+π6)\displaystyle a=\frac1{\cos\left(\frac23\pi-s\right)+\cos s}=\frac1{\cos\frac23\pi\cos s+\sin\frac23\pi\sin s+\cos s}=\frac1{\sin\left(s+\frac\pi6\right)}이다. 정삼각형 RST의 넓이 g(s)\displaystyle g(s)는g(s)=12(1sin⁡(s+π6))2sin⁡π3=34csc⁡2(s+π6)\displaystyle g(s)=\frac12\left(\frac1{\sin\left(s+\frac\pi6\right)}\right)^2\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}4\csc^2\left(s+\frac\pi6\right)이고,

정삼각형 RST의 한 변 a와 각 s
+10점 · 정적분 ∫s0s1g(s) ds\displaystyle \int_{s_0}^{s_1}g(s)\,ds를 구했는가?

∫π45π12g(s) ds=34∫π45π12csc⁡2(s+π6) ds←t=s+π6=34∫5π127π12csc⁡2t dt=−34cot⁡t∣5π127π12=−34(−3−13+1−3−13+1)=3−32\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}{12}}g(s)\,ds&=\frac{\sqrt3}4\int_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}{12}}\csc^2\left(s+\frac\pi6\right)\,ds\quad\leftarrow t=s+\frac\pi6\\&=\frac{\sqrt3}4\int_{\frac{5\pi}{12}}^{\frac{7\pi}{12}}\csc^2t\,dt=\left.-\frac{\sqrt3}4\cot t\right|_{\frac{5\pi}{12}}^{\frac{7\pi}{12}}\\&=-\frac{\sqrt3}4\left(-\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}-\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\right)\\&=\sqrt3-\frac32\end{aligned}

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