자연계열 (오후1) 2번

1. 오른쪽 첫 번째 그림에서 $\displaystyle \angle\mathrm{DAQ}=t,\ \angle\mathrm{HAQ}=s$라 하면, $\displaystyle \angle\mathrm{BAP}=\frac\pi4-t,\ \angle\mathrm{HAP}=\frac\pi4-s$이다.$\displaystyle \frac{\cos s}{\cos t}=\overline{\mathrm{AH}}=\frac{\cos\left(\frac\pi4-s\right)}{\cos\left(\frac\pi4-t\right)}=\frac{\cos\frac\pi4\cos s+\sin\frac\pi4\sin s}{\cos\frac\pi4\cos t+\sin\frac\pi4\sin t}=\frac{\cos s+\sin s}{\cos t+\sin t}$이고, 정리하면 $\displaystyle \tan t=\tan s$, 즉 $\displaystyle t=s$이므로삼각형 DAQ와 삼각형 HAQ는 합동이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{AD}}=1$이다.

따라서 점 H가 이루는 곡선은 반지름 1인 사분원 이므로 길이는 $\displaystyle \frac\pi2$이다.

2. 오른쪽 그림에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(1-\tan t)^2+\left(1-\tan\left(\frac\pi4-t\right)\right)^2}=\frac{1+\tan^2t}{1+\tan t}$이므로,삼각형 PAQ의 넓이 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle f(t)=\frac12\cdot\overline{\mathrm{AH}}\cdot\overline{\mathrm{PQ}}=\frac12\cdot\frac{1+\tan^2t}{1+\tan t}$

따라서 ($\displaystyle 1+\tan t=s$로 치환해서)$\displaystyle \int_0^{\frac\pi4}f(t)\,dt=\frac12\int_0^{\frac\pi4}\frac{1+\tan^2t}{1+\tan t}\,dt=\frac12\int_1^2\frac1s\,ds=\frac12\ln2\ (=\ln\sqrt2)$이다.

3. 오른쪽 그림에서 $\displaystyle s_0=\frac\pi4\ (=45^\circ),\ s_1=\frac{5\pi}{12}\ (=75^\circ)$이다.

$\displaystyle \frac\pi4\le s\le\frac{5\pi}{12}$인 $\displaystyle s$에 대해, 정삼각형 RST의 한 변의 길이를 $\displaystyle a$라고 하면,오른쪽 아래 그림에서 $\displaystyle a\cos\left(\frac23\pi-s\right)+a\cos s=1$임을 알 수 있고, 따라서$\displaystyle a=\frac1{\cos\left(\frac23\pi-s\right)+\cos s}=\frac1{\cos\frac23\pi\cos s+\sin\frac23\pi\sin s+\cos s}=\frac1{\sin\left(s+\frac\pi6\right)}$이다. 정삼각형 RST의 넓이 $\displaystyle g(s)$는$\displaystyle g(s)=\frac12\left(\frac1{\sin\left(s+\frac\pi6\right)}\right)^2\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}4\csc^2\left(s+\frac\pi6\right)$이고,

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}{12}}g(s)\,ds&=\frac{\sqrt3}4\int_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}{12}}\csc^2\left(s+\frac\pi6\right)\,ds\quad\leftarrow t=s+\frac\pi6\\&=\frac{\sqrt3}4\int_{\frac{5\pi}{12}}^{\frac{7\pi}{12}}\csc^2t\,dt=\left.-\frac{\sqrt3}4\cot t\right|_{\frac{5\pi}{12}}^{\frac{7\pi}{12}}\\&=-\frac{\sqrt3}4\left(-\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}-\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\right)\\&=\sqrt3-\frac32\end{aligned}$