수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1번

해설강의 바로가기 ↓

한양대 서울캠퍼스 2023학년도 수시 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2023su_pm2/jayeon_1

이전 문제
배점50점
예상 소요 시간45분
다음 문제

문제

🔒
짧은 시간에 너무 많은 문제를 여셔서 열람을 잠시 제한했습니다. 잠시 후 다시 시도하시거나 로그인해 주세요.

한양대 서울캠퍼스 2023학년도 수시 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2023su_pm2/jayeon_1

+20점 · 이항계수의 기본 성질을 이용하여 좌변으로부터 우변을 얻는 과정이 명료하게 기술되었는가?

1. 제시문 <나>에 의해 nCk+nCk+1=n+1Ck+1\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}+{}_{n}\mathrm{C}_{k+1}={}_{n+1}\mathrm{C}_{k+1}이다. 이를 이용하면3n+3C3k=3n+2C3k−1+3n+2C3k=3n+1C3k−2+2×3n+1C3k−1+3n+1C3k=3nC3k−3+3×3nC3k−2+3×3nC3k−1+3nC3k\displaystyle \begin{aligned} {}_{3n+3}\mathrm{C}_{3k} &={}_{3n+2}\mathrm{C}_{3k-1}+{}_{3n+2}\mathrm{C}_{3k} \\ &={}_{3n+1}\mathrm{C}_{3k-2}+2\times{}_{3n+1}\mathrm{C}_{3k-1}+{}_{3n+1}\mathrm{C}_{3k} \\ &={}_{3n}\mathrm{C}_{3k-3}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}+{}_{3n}\mathrm{C}_{3k} \end{aligned}를 얻는다.

+20점 · 기호 ∑\displaystyle \sum로 표현된 식을 잘 정리하였는가? +20점 · 이항계수의 3k\displaystyle 3k번째 열을 모두 더했을 때 23k\displaystyle 2^{3k} 임을 이용하여 an+an+1\displaystyle a_{n}+a_{n+1}을 구하였는가?Comment. 여기서 사용하는 성질은 ∑j=03n3nCj=23n\displaystyle \sum_{j=0}^{3n}{}_{3n}\mathrm{C}_j=2^{3n}이다.

2. 1번의 결과를 이용하면an+1+an=2+∑k=1n3n+3C3k+∑k=0n3nC3k=2+∑k=1n(3nC3k−3+3×3nC3k−2+3×3nC3k−1+3nC3k)+∑k=0n3nC3k=2+∑k=1n(3nC3k−3+3×3nC3k−2+3×3nC3k−1)+2∑k=0n3nC3k−1=2+∑k=1n(3×3nC3k−2+3×3nC3k−1)+3∑k=0n3nC3k−2=∑k=1n(3×3nC3k−2+3×3nC3k−1)+3∑k=0n3nC3k=3∑k=03n3nCk=3×23n\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1}+a_{n} &=2+\sum_{k=1}^{n}{}_{3n+3}\mathrm{C}_{3k}+\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k} \\ &=2+\sum_{k=1}^{n}\left({}_{3n}\mathrm{C}_{3k-3}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}+{}_{3n}\mathrm{C}_{3k}\right)+\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k} \\ &=2+\sum_{k=1}^{n}\left({}_{3n}\mathrm{C}_{3k-3}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}\right)+2\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k}-1 \\ &=2+\sum_{k=1}^{n}\left(3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}\right)+3\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k}-2 \\ &=\sum_{k=1}^{n}\left(3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}\right)+3\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k} \\ &=3\sum_{k=0}^{3n}{}_{3n}\mathrm{C}_{k}=3\times 2^{3n} \end{aligned}

+20점 · 등비수열의 합을 이용하여 a100\displaystyle a_{100}을 정확히 구하였는가? +20점 · 이항계수의 대칭성을 이용하여 ∑k=1n3nC3k−1\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}의 값을 구하였는가?

3. 수열 {(−1)n+1(an+an+1)}\displaystyle \left\{(-1)^{n+1}(a_{n}+a_{n+1})\right\}이 등비수열이다.a1+a100=(a1+a2)−(a2+a3)+⋯−(a98+a99)+(a99+a100)=∑k=199(−1)k+1(3×23k)=24(1−(−8)99)1−(−8)=83(899+1)\displaystyle \begin{aligned} a_{1}+a_{100} &=(a_{1}+a_{2})-(a_{2}+a_{3})+\cdots-(a_{98}+a_{99})+(a_{99}+a_{100}) \\ &=\sum_{k=1}^{99}(-1)^{k+1}\left(3\times 2^{3k}\right)=\frac{24\left(1-(-8)^{99}\right)}{1-(-8)}=\frac{8}{3}\left(8^{99}+1\right) \end{aligned}a1=2\displaystyle a_{1}=2 이므로 a100=83(899+1)−2=13(8100+2)\displaystyle a_{100}=\frac{8}{3}(8^{99}+1)-2=\frac{1}{3}(8^{100}+2) 이다.

대칭성에 의해 ∑k=1100300C3k−1=∑k=1100300C3k−2\displaystyle \sum_{k=1}^{100}{}_{300}\mathrm{C}_{3k-1}=\sum_{k=1}^{100}{}_{300}\mathrm{C}_{3k-2} 이므로∑k=1100300C3k−1=12(8100−a100)=12(238100−23)=13(8100−1)\displaystyle \sum_{k=1}^{100}{}_{300}\mathrm{C}_{3k-1}=\frac{1}{2}\left(8^{100}-a_{100}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}8^{100}-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}\left(8^{100}-1\right) 이다.

답 : 13(8100−1)\displaystyle \frac{1}{3}\left(8^{100}-1\right)

이 문항 오류 제보

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.