자연계열 1번

한양대 서울캠퍼스 2023학년도 수시 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2023su_pm2/jayeon_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

<가> 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k}$ 이다.

<나> 정수 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle k$ 가 $\displaystyle 0\le k<n$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}+{}_{n}\mathrm{C}_{k+1}={}_{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$ 이 성립한다.

1. 정수 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle k$ 가 $\displaystyle 1\le k\le n$ 을 만족시킬 때, 제시문 <나>를 이용하여 $\displaystyle {}_{3n+3}\mathrm{C}_{3k}={}_{3n}\mathrm{C}_{3k-3}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}+{}_{3n}\mathrm{C}_{3k}$ 가 성립함을 보이시오.

2. 자연수 $\displaystyle n$ 에 대해 $\displaystyle a_{n+1}=2+\sum_{k=1}^{n}{}_{3n+3}\mathrm{C}_{3k}$ 를 이용하여 $\displaystyle a_{n}+a_{n+1}=3\times 2^{3n}$ 이 성립함을 보이시오.

3. $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}{}_{300}\mathrm{C}_{3k-1}$ 의 값을 구하시오.

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+20점 · 이항계수의 기본 성질을 이용하여 좌변으로부터 우변을 얻는 과정이 명료하게 기술되었는가?

1. 제시문 <나>에 의해 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}+{}_{n}\mathrm{C}_{k+1}={}_{n+1}\mathrm{C}_{k+1}$ 이다. 이를 이용하면 $\displaystyle \begin{aligned} {}_{3n+3}\mathrm{C}_{3k} &={}_{3n+2}\mathrm{C}_{3k-1}+{}_{3n+2}\mathrm{C}_{3k} \\ &={}_{3n+1}\mathrm{C}_{3k-2}+2\times{}_{3n+1}\mathrm{C}_{3k-1}+{}_{3n+1}\mathrm{C}_{3k} \\ &={}_{3n}\mathrm{C}_{3k-3}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}+{}_{3n}\mathrm{C}_{3k} \end{aligned}$ 를 얻는다.

+20점 · 기호

\displaystyle \sum

로 표현된 식을 잘 정리하였는가?

+20점 · 이항계수의

\displaystyle 3k

번째 열을 모두 더했을 때

\displaystyle 2^{3k}

임을 이용하여

\displaystyle a_{n}+a_{n+1}

을 구하였는가?Correction. 채점기준의

\displaystyle 3k

와

\displaystyle 2^{3k}

는 각각

\displaystyle 3n

과

\displaystyle 2^{3n}

의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

2. 1번의 결과를 이용하면 $\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1}+a_{n} &=2+\sum_{k=1}^{n}{}_{3n+3}\mathrm{C}_{3k}+\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k} \\ &=2+\sum_{k=1}^{n}\left({}_{3n}\mathrm{C}_{3k-3}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}+{}_{3n}\mathrm{C}_{3k}\right)+\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k} \\ &=2+\sum_{k=1}^{n}\left({}_{3n}\mathrm{C}_{3k-3}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}\right)+2\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k}-1 \\ &=2+\sum_{k=1}^{n}\left(3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}\right)+3\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k}-2 \\ &=\sum_{k=1}^{n}\left(3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-2}+3\times{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}\right)+3\sum_{k=0}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k} \\ &=3\sum_{k=0}^{3n}{}_{3n}\mathrm{C}_{k}=3\times 2^{3n} \end{aligned}$

+20점 · 등비수열의 합을 이용하여

\displaystyle a_{100}

을 정확히 구하였는가?

3. 수열 $\displaystyle \left\{(-1)^{n+1}(a_{n}+a_{n+1})\right\}$ 이 등비수열이다. $\displaystyle \begin{aligned} a_{1}+a_{100} &=(a_{1}+a_{2})-(a_{2}+a_{3})+\cdots-(a_{98}+a_{99})+(a_{99}+a_{100}) \\ &=\sum_{k=1}^{99}(-1)^{k+1}\left(3\times 2^{3k}\right)=\frac{24\left(1-(-8)^{99}\right)}{1-(-8)}=\frac{8}{3}\left(8^{99}+1\right) \end{aligned}$ $\displaystyle a_{1}=2$ 이므로 $\displaystyle a_{100}=\frac{8}{3}(8^{99}+1)-2=\frac{1}{3}(8^{100}+2)$ 이다.

+20점 · 이항계수의 대칭성을 이용하여

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{}_{3n}\mathrm{C}_{3k-1}

의 값을 구하였는가?

대칭성에 의해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}{}_{300}\mathrm{C}_{3k-1}=\sum_{k=1}^{100}{}_{300}\mathrm{C}_{3k-2}$ 이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}{}_{300}\mathrm{C}_{3k-1}=\frac{1}{2}\left(8^{100}-a_{100}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}8^{100}-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}\left(8^{100}-1\right)$ 이다.

답 : $\displaystyle \frac{1}{3}\left(8^{100}-1\right)$

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