자연계열 (오전) 1번

1. 오른쪽 그림에서$\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\times1\times1\times\cos\frac{2\pi}{3}=3$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\sqrt{3},\ \overline{\mathrm{RH}}=\frac{\sqrt{3}}{2},\ \overline{\mathrm{PR}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$이고 따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3}{4}\sqrt{3}$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}^{2}=\overline{\mathrm{AP}}^{2}+\overline{\mathrm{OA}}^{2}-2\overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{OA}}\times\cos\frac{\pi}{6}=\left(\frac{3}{4}\sqrt{3}\right)^{2}+1^{2}-2\times\frac{3}{4}\sqrt{3}\times1\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7}{16}$$\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}^{2}=\overline{\mathrm{AP}}^{2}+\overline{\mathrm{AB}}^{2}-2\overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{AB}}\times\cos\frac{\pi}{6}=\left(\frac{3}{4}\sqrt{3}\right)^{2}+2^{2}-2\times\frac{3}{4}\sqrt{3}\times2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{19}{16}$따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}^{2}+\overline{\mathrm{BP}}^{2}=\frac{7}{16}+\frac{19}{16}=\frac{13}{8}$답 : $\displaystyle \frac{13}{8}$

2. 지름의 양 끝점이 $\displaystyle \mathrm{A}(-1,0),\ \mathrm{B}(1,0)$가 되고, 호 AB가 $\displaystyle x$축 윗부분에 오도록 반원을 좌표평면에 두자. $\displaystyle \angle\mathrm{ROB}=t$ ($\displaystyle 0\le t\le\pi$)라 하면, $\displaystyle \mathrm{R}(\cos t,\sin t),\ \mathrm{H}(\cos t,0)$이라 할 수 있다.

$\displaystyle 0<t<\pi$일 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(-1,0),\ \mathrm{R}(\cos t,\sin t)$를 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle y-0=\frac{\sin t-0}{\cos t-(-1)}(x-(-1))$이고, 점 H를 지나고 선분 AR에 수직인 직선의 방정식은$\displaystyle y-0=-\frac{1+\cos t}{\sin t}(x-\cos t)$이다. 점 P는 이 두 직선의 교점이므로 두 직선의 방정식을 연립해서 풀면,점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$의 좌표는 아래와 같이 주어진다.$\displaystyle \begin{cases}x=\frac{1}{2}(\cos^{2}t+2\cos t-1)\\y=\frac{1}{2}\sin t(1+\cos t)\end{cases}$ ($\displaystyle t=0$이면 P=B, $\displaystyle t=\pi$이면 P=A이다.)따라서$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{OP}}&=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}(\cos^{2}t+2\cos t-1)\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\sin t(1+\cos t)\right)^{2}}\\&=\sqrt{\frac{1}{2}(\cos^{3}t+\cos^{2}t-\cos t+1)}\end{aligned}$

이고, $\displaystyle f(t)=\cos^{3}t+\cos^{2}t-\cos t+1$이라 하면,$\displaystyle f^{\prime}(t)=-\sin t(\cos t+1)(3\cos t-1)$이고,$\displaystyle 0\le t\le\pi$일 때 $\displaystyle -1\le\cos t\le1$이므로,오른쪽 표에서 $\displaystyle f(t)$의 최솟값은$\displaystyle t=\alpha,\ \cos\alpha=\frac{1}{3}$일 때, $\displaystyle f(t)=\frac{22}{27}$이다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}t&0&\cdots&\alpha&\cdots&\pi\\\hline\cos t&1&\cdots&\frac{1}{3}&\cdots&-1\\\hline f^{\prime}(t)&0&-&0&+&0\\\hline f(t)&2&\searrow&\frac{22}{27}&\nearrow&2\end{array}$따라서 구하는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$의 최솟값은$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}\times\frac{22}{27}}=\frac{\sqrt{11}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{33}}{9}$이다.답 : $\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{9}$

3. 2번에서 구한 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$의 좌표로부터,$\displaystyle \cos t=-1+\sqrt{2+2x}$이고,$\displaystyle \begin{aligned}y^{2}&=\left(\frac{1}{2}\sin t(1+\cos t)\right)^{2}=\frac{1}{4}(1-\cos t)(1+\cos t)^{3}\\&=\frac{1}{4}(2-\sqrt{2+2x})(\sqrt{2+2x})^{3}=\sqrt{2}(1+x)^{\frac{3}{2}}-(1+x)^{2}\end{aligned}$이다. $\displaystyle -1\le x\le1$이므로 구하는 부피는

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-1}^{1}y^{2}\,dx&=\int_{-1}^{1}\sqrt{2}(1+x)^{\frac{3}{2}}\,dx-\int_{-1}^{1}(1+x)^{2}\,dx\\&=\Biggl[\frac{2\sqrt{2}}{5}(1+x)^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}(1+x)^{3}\Biggr]_{-1}^{1}=\frac{8}{15}\end{aligned}$이다.답 : $\displaystyle \frac{8}{15}$