자연계열 (오후1) 2번

1. 그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=t$ ($\displaystyle 0\le t\le\frac{1}{2}$)라 하면,$\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}=\sqrt{t^2+1}$$\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\sqrt{(1-t)^2+1}=\sqrt{t^2-2t+2}$이다.

$\displaystyle \angle\mathrm{BPH}=\alpha$라 하면, 삼각형 BPH에서$\displaystyle \overline{\mathrm{BH}}^2=\overline{\mathrm{PB}}^2+\overline{\mathrm{PH}}^2-2\times\overline{\mathrm{PB}}\times\overline{\mathrm{PH}}\times\cos\alpha$이고 정리하면$\displaystyle \cos\alpha=\frac{t^2-t}{\sqrt{t^2+1}\sqrt{t^2-2t+2}}$이다.삼각형 BPH의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\frac{\sqrt{7}}{4}&=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{PB}}\times\overline{\mathrm{PH}}\times\sin\alpha\\&=\frac{1}{2}\sqrt{t^2+1}\sqrt{t^2-2t+2}\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{\frac{t^2-t+1}{2}}\end{aligned}$이고, 이로부터 $\displaystyle t=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$ ($\displaystyle 0\le t\le\frac{1}{2}$)를 구한다.

따라서 정사영의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\times1\times\overline{\mathrm{PD}}=\frac{2+\sqrt{2}}{8}$이다.

답 : $\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{8}$

2. 공을 꺼내어 얻은 세 숫자를 $\displaystyle x,y,z$라 하자. 그러면 $\displaystyle A_{n+1}-A_n$는 $\displaystyle x,y,z$가 삼각형의 세 변의 길이가 되면서 그 중 적어도 하나가 $\displaystyle n+1$인 경우의 수와 같다.먼저 $\displaystyle x=n+1$이고 $\displaystyle y\le n,z\le n$이라 가정하자.만약 $\displaystyle y=1$이면 조건을 만족하는 $\displaystyle z$를 고를 수 없고, $\displaystyle a>1$인 각 $\displaystyle y=a$마다 $\displaystyle z$를 $\displaystyle a-1$개의 숫자 $\displaystyle n-a+2,n-a+3,\cdots,n$ 중에서 고르면 충분하다. 따라서 이 경우 $\displaystyle \sum_{a=2}^n(a-1)=\sum_{a=1}^{n-1}a=\frac{n(n-1)}{2}$만큼의 가짓수가 있다.대칭적으로 생각하면 $\displaystyle y$만 $\displaystyle n+1$이거나 $\displaystyle z$만 $\displaystyle n+1$인 경우의 수도 이와 같다. 만약 두 숫자 $\displaystyle x,y$가 모두 $\displaystyle n+1$이고 $\displaystyle z\le n$이라면, $\displaystyle z$는 1부터 $\displaystyle n$중 어느 숫자여도 $\displaystyle x,y,z$가 삼각형의 세 변이 된다. 이와 대칭적인 경우들도 모두 따져 보면 합쳐서 $\displaystyle 3n$가지 경우의 수가 된다.

마지막으로 $\displaystyle x=y=z=n+1$의 경우도 세어 주면$\displaystyle A_{n+1}-A_n=\frac{3n(n-1)}{2}+3n+1=\frac{3n(n+1)}{2}+1$을 얻는다.답 : $\displaystyle \frac{3n^2+3n+2}{2}$

3. 대칭성에 의해 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n/3}{}_{n}\mathrm{C}_k=\sum_{k=0}^{n/3}{}_{n}\mathrm{C}_{n-k}=\sum_{k=2n/3}^n{}_{n}\mathrm{C}_k$임을 알 수 있다.모든 $\displaystyle x>1$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=2n/3}^n{}_{n}\mathrm{C}_k\le\sum_{k=2n/3}^n{}_{n}\mathrm{C}_k x^{k-2n/3}$이 성립하므로$\displaystyle \sum_{k=2n/3}^n{}_{n}\mathrm{C}_k\le\sum_{k=2n/3}^n{}_{n}\mathrm{C}_k x^{k-2n/3}\le\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_k x^{k-2n/3}=x^{-2n/3}\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_k x^k=\left(\frac{1+x}{x^{2/3}}\right)^n$을 얻는다.$\displaystyle A=\left(\sum_{k=0}^{n/3}{}_{n}\mathrm{C}_k\right)^{1/n}$라 하자.

$\displaystyle f(x)$는 오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle x=2$에서 1.9보다 작은 최솟값을 갖고, $\displaystyle x>1$범위에서 항상 $\displaystyle A$보다 크기 때문에 $\displaystyle A<f(2)<1.9$임을 알 수 있다.

그러므로 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n/3}{}_{n}\mathrm{C}_k<1.9^n$임이 증명된다.