자연계열 2번

1. 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x+\alpha)}{x+\alpha}$을 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+\alpha)^{2}}(1-\ln(x+\alpha))$를 얻는다.따라서 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 $\displaystyle -\alpha<x<e-\alpha$ 범위에서 양수, $\displaystyle x>e-\alpha$ 범위에서 음수, $\displaystyle x=e-\alpha$에서는 $\displaystyle 0$이 되며, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=e-\alpha$에서 최댓값 $\displaystyle 1/e$를 갖는다. 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x>-\alpha$ 범위에서만 정의되고 $\displaystyle x$가 $\displaystyle -\alpha$로 가까이 갈수록 음의 무한대로 발산하므로, 문제에 주어진 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0$과 종합하여 $\displaystyle f(x)$의 개형을 그려 보면 오른쪽과 같은 그림을 얻는다.

그러므로 $\displaystyle (f\circ f)(x)=\frac{1}{e}$이라면 $\displaystyle f(x)=e-\alpha$인데, $\displaystyle f(x)=t$인 $\displaystyle x$가 정확히 두 개가 되는 것은 $\displaystyle 0<t<\frac{1}{e}$에서만 가능하다. 그러므로 $\displaystyle 0<e-\alpha<\frac{1}{e}$이고, 이것은 $\displaystyle e-\frac{1}{e}<\alpha<e$과 동치이다.답 : $\displaystyle e-\frac{1}{e}<\alpha<e$

2. $\displaystyle f^{\prime}(-1)=a,\ f^{\prime}(1)=-b$로 놓자. 그러면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(-1,0)$과 $\displaystyle \mathrm{B}(1,0)$에서의 접선의 방정식은 각각 $\displaystyle y=a(x+1),\ y=-b(x-1)$로 주어지는데, 이를 연립하면 교점의 좌표 $\displaystyle \left(\frac{b-a}{a+b},\frac{2ab}{a+b}\right)$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle S=\frac{2ab}{a+b}$임을 알 수 있다.

$\displaystyle f(x)$의 두 접선이 $\displaystyle x$축과 이루는 예각 $\displaystyle \angle\mathrm{PAB}$와 $\displaystyle \angle\mathrm{PBA}$를 각각 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$라 하면, $\displaystyle a=\tan\alpha,\ b=\tan\beta$임을 알 수 있다. 이제 $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{APB}$라 하면 $\displaystyle \theta=\pi-\alpha-\beta$이고, 따라서$\displaystyle \tan\theta=\tan(\pi-\alpha-\beta)=-\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan\alpha\tan\beta-1}=\frac{a+b}{ab-1}$이다.Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: 예시답안의 $\displaystyle \tan\theta=\frac{a+b}{ab-1}$은 $\displaystyle ab\ne1$일 때만 쓸 수 있다. $\displaystyle ab=1$이면 두 접선이 수직이므로 $\displaystyle \theta=\frac\pi2$이고 $\displaystyle \cot\theta=0$이다. 이때 $\displaystyle S=\frac2{23}$이므로, 이 경우를 따로 확인하면 최종식 $\displaystyle \cot\theta=\frac S2-\frac1{23}$은 그대로 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 $\displaystyle \cot\theta=\frac{ab}{a+b}-\frac{1}{a+b}=\frac{S}{2}-\frac{1}{23}$이 된다.답 : $\displaystyle \cot\theta=\frac{S}{2}-\frac{1}{23}$

3. 원의 방정식은 $\displaystyle (x-t)^{2}+(y-1)^{2}=1$이고 직선 AB과 AC의 방정식은 각각 $\displaystyle y=\sqrt{3}x+1,\ y=-\sqrt{3}x+1$로 주어진다. 이를 연립하여 원과 직선 AB, AC가 각각 만나는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1),\ \mathrm{Q}(x_2,y_2)$를 구하려면 이차방정식 $\displaystyle (x-t)^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}=1$을 풀어야 하며, 그 결과로 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{4}(t-\sqrt{4-3t^{2}})$, $\displaystyle x_{2}=\frac{1}{4}(t+\sqrt{4-3t^{2}})$를 얻는다. 그러므로 $\displaystyle y_{1}=1+\frac{\sqrt{3}}{4}(t-\sqrt{4-3t^{2}})$, $\displaystyle y_{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{4}(t+\sqrt{4-3t^{2}})$임을 알 수 있다.

이제 선분 PQ의 길이를 계산해 보면$\displaystyle \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{4-3t^{2}}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}t}{2}\right)^{2}}=1$이 되므로, 호 PQ와 현 PQ사이 영역의 넓이는 $\displaystyle t$와 관계없이 항상 상수 $\displaystyle C$로 일정하다. 삼각형 APQ의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{AQ}}\times\sin(\angle\mathrm{PAQ})=\frac{\sqrt{3}}{4}\overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{AQ}}$로 주어지는데,$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}^{2}=x_{1}^{2}+(y_{1}-1)^{2}=\frac{1}{4}(t-\sqrt{4-3t^{2}})^{2},$$\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}^{2}=x_{2}^{2}+(y_{2}-1)^{2}=\frac{1}{4}(t+\sqrt{4-3t^{2}})^{2}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{AQ}}=-\frac{1}{4}(t-\sqrt{4-3t^{2}})(t+\sqrt{4-3t^{2}})=1-t^{2}$이 된다.따라서 $\displaystyle f(t)=\frac{\sqrt{3}}{4}(1-t^{2})+C$이고, $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac{\sqrt{3}}{2}t$를 얻는다.답 : $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac{\sqrt{3}}{2}t$