자연계열 (오전) 2번

한양대 서울캠퍼스 2023학년도 수시 자연계열 (오전) 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2023su_pm2/jayeon_am_2

[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)

1. 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{a_n}{n+1}=\int_0^\beta\sin^n x\cos x\,dx$ 를 만족시킨다. $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n=\frac{1}{6}$ 일 때, $\displaystyle \tan\beta$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}$ )

2. 평균이 $\displaystyle m$ , 표준편차가 $\displaystyle \sigma$ 인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 $\displaystyle n$ 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 $\displaystyle \overline{X}$ 라 하자. 이 모집단의 확률변수를 $\displaystyle X$ 라 할 때, 두 확률변수 $\displaystyle X$ , $\displaystyle \overline{X}$ 가 다음 세 조건을 만족시킨다. 이때, $\displaystyle m+\sigma+n$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle Z$ 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le1.5)=0.4332$ , $\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le2.0)=0.4772$ , $\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le2.5)=0.4938$ 로 계산한다.)

(가) $\displaystyle \mathrm{P}(X\ge8)+\mathrm{P}(\overline{X}\ge8)=1$

(나) $\displaystyle \mathrm{P}(X\ge12)+\mathrm{P}(\overline{X}\ge7.5)=1$

(다) 표본평균의 값이 $\displaystyle \overline{x}$ 일 때, $\displaystyle m$ 에 대한 신뢰도 $\displaystyle 95.44\%$ 의 신뢰구간이 $\displaystyle \overline{x}-1\le m\le\overline{x}+1$ 이다.

3. 평평한 면과 둥근 면이 나올 확률이 각각 $\displaystyle p$ , $\displaystyle 1-p$ 인 윷짝 한 개를 $\displaystyle 2023$ 번 던졌을 때, 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률을 $\displaystyle p$ 에 대한 식으로 나타내시오. (단, $\displaystyle 0$ 은 짝수이다.)

해설강의 준비중

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+10점 · 치환적분법을 사용하여

\displaystyle a_n

을 구하였는가?

1. $\displaystyle t=\sin x$ 로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=\cos x$ 이고, $\displaystyle x=0$ 일 때 $\displaystyle t=0$ , $\displaystyle x=\beta$ 일 때 $\displaystyle t=\sin\beta$ 이므로 $\displaystyle \frac{a_n}{n+1}=\int_0^\beta(\sin x)^n\cos x\,dx=\int_0^{\sin\beta}t^n\,dt=\frac{(\sin\beta)^{n+1}}{n+1}$ 에서 $\displaystyle a_n=(\sin\beta)^{n+1}$ 을 얻는다.

+20점 ·

\displaystyle a_n

의 등비급수 합을 찾아

\displaystyle \sin\beta

를 구하였는가?

수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 은 첫째항이 $\displaystyle (\sin\beta)^2$ 이고 공비가 $\displaystyle \sin\beta$ 인 등비수열이다.주어진 $\displaystyle 0<\beta<\pi/2$ 에서 $\displaystyle 0<\sin\beta<1$ 이므로 주어진 등비급수는 수렴하고,그 합은 $\displaystyle \frac{(\sin\beta)^2}{1-\sin\beta}$ 이다. $\displaystyle \frac{(\sin\beta)^2}{1-\sin\beta}=\frac{1}{6}$ 에서 $\displaystyle 6(\sin\beta)^2=1-\sin\beta$ 이므로 $\displaystyle y=\sin\beta$ 라고 할 때, $\displaystyle 6y^2+y-1=(3y-1)(2y+1)=0$ 에서 $\displaystyle y=\frac{1}{3}$ 이므로 $\displaystyle \sin\beta=\frac{1}{3}$

+10점 ·

\displaystyle \tan\beta

를 잘 구하였는가?

그러므로 $\displaystyle \tan\beta=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

답 : $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}$

+20점 · 정규분포의 성질을 통해 주어진 확률분포의 평균

\displaystyle m

과 표준편차

\displaystyle \sigma

를 구했는가? 모평균의 추정된 신뢰구간을 통해 표본의 크기

\displaystyle n

을 구했는가?

Correction. 정규분포의 성질로 평균 $\displaystyle m$ 과 표본의 크기 $\displaystyle n$ 을 구하고, 신뢰구간으로 표준편차 $\displaystyle \sigma$ 를 구한다.

2. 모집단의 확률변수 $\displaystyle X$ 가 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$ 을 따르므로 크기가 $\displaystyle n$ 인 표본의 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$ 는 $\displaystyle \mathrm{N}\left(m,\frac{\sigma^2}{n}\right)$ 을 따른다. 정규분포의 확률밀도함수 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프는 직선 $\displaystyle x=m$ 에 대하여 좌우 대칭인 종 모양의 곡선이다. 따라서 조건 (가)에서 $\displaystyle \mathrm{P}(X\ge8)+\mathrm{P}(\overline{X}\ge8)=1$ 이므로 $\displaystyle m=8$ 이다.두 확률변수 $\displaystyle Z_1=\frac{X-8}{\sigma}$ , $\displaystyle Z_2=\frac{\overline{X}-8}{\sigma/\sqrt{n}}$ 은 모두 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$ 을 따르고 확률밀도함수 $\displaystyle f(z)$ 의 그래프는 직선 $\displaystyle z=0$ 에 대하여 좌우 대칭인 종 모양의 곡선이다. 조건 (나)에서 $\displaystyle \mathrm{P}(X\ge12)+\mathrm{P}(\overline{X}\ge7.5)=1$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}\left(Z_1\ge\frac{12-8}{\sigma}\right)+\mathrm{P}\left(Z_2\ge\frac{7.5-8}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=1$ 이다. 즉, $\displaystyle \frac{4}{\sigma}=\frac{0.5\sqrt{n}}{\sigma}$ 이므로 $\displaystyle n=64$ 이다. $\displaystyle m$ 에 대한 신뢰도 $\displaystyle 95.44\%$ 의 신뢰구간은 $\displaystyle \overline{x}-2\times\frac{\sigma}{\sqrt{64}}\le m\le\overline{x}+2\times\frac{\sigma}{\sqrt{64}}$ 이고 조건 (다)에서 $\displaystyle \overline{x}-1\le m\le\overline{x}+1$ 이므로 $\displaystyle 2\times\frac{\sigma}{\sqrt{64}}=1$ 이다. 즉, $\displaystyle \sigma=4$ 이다.

+10점 · 앞서 구한 평균, 표준편차, 표본의 크기를 이용하여

\displaystyle m+\sigma+n

을 계산했는가?

따라서 $\displaystyle m+\sigma+n=8+4+64=76$ 이다.답 : $\displaystyle 76$

+10점 · 평평한 면이 나온 횟수가 짝수인 확률을 조합에 관련된 식으로 표현하였는가?

+20점 · 조합으로 표현한 식을 이항정리를 통해

\displaystyle p

에 대한 식으로 나타냈는가?

3. 이항정리를 이용하여 $\displaystyle \{p+(1-p)\}^{2023}$ 와 $\displaystyle \{p+(p-1)\}^{2023}$ 을 각각 전개하면 다음과 같다. $\displaystyle \{p+(1-p)\}^{2023}=\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{2023-k}$ $\displaystyle \{p+(p-1)\}^{2023}=\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(p-1)^{2023-k}=\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{2023-k}(-1)^{2023-k}$ 여기서 $\displaystyle (-1)^{2023-k}$ 의 값은 $\displaystyle k$ 가 홀수이면 $\displaystyle 1$ , $\displaystyle k$ 가 짝수이면 $\displaystyle -1$ 을 가진다.이때 $\displaystyle \{p+(1-p)\}^{2023}-\{p+(p-1)\}^{2023}$ 을 계산하면 $\displaystyle \begin{aligned}1-(2p-1)^{2023}&=\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{2023-k}-\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{2023-k}(-1)^{2023-k}\\&=2\sum_{j=0}^{1011}{}_{2023}\mathrm{C}_{2j}p^{2j}(1-p)^{2023-2j}\end{aligned}$ 이 된다.즉, $\displaystyle 1-(2p-1)^{2023}=2\sum_{j=0}^{1011}{}_{2023}\mathrm{C}_{2j}p^{2j}(1-p)^{2023-2j}$ 는 윷짝 한 개를 $\displaystyle 2023$ 번을 던졌을 때 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률의 $\displaystyle 2$ 배와 같다.따라서 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{(2p-1)^{2023}}{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{(1-2p)^{2023}}{2}$ 이다.답 : $\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{(2p-1)^{2023}}{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{(1-2p)^{2023}}{2}$

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