자연계열 (오전) 2번

1. $\displaystyle t=\sin x$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=\cos x$이고, $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle t=0$, $\displaystyle x=\beta$일 때 $\displaystyle t=\sin\beta$이므로$\displaystyle \frac{a_n}{n+1}=\int_0^\beta(\sin x)^n\cos x\,dx=\int_0^{\sin\beta}t^n\,dt=\frac{(\sin\beta)^{n+1}}{n+1}$에서 $\displaystyle a_n=(\sin\beta)^{n+1}$을 얻는다.수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle (\sin\beta)^2$이고 공비가 $\displaystyle \sin\beta$인 등비수열이다.주어진 $\displaystyle 0<\beta<\pi/2$에서 $\displaystyle 0<\sin\beta<1$이므로 주어진 등비급수는 수렴하고,그 합은 $\displaystyle \frac{(\sin\beta)^2}{1-\sin\beta}$이다.$\displaystyle \frac{(\sin\beta)^2}{1-\sin\beta}=\frac{1}{6}$에서 $\displaystyle 6(\sin\beta)^2=1-\sin\beta$이므로$\displaystyle y=\sin\beta$라고 할 때, $\displaystyle 6y^2+y-1=(3y-1)(2y+1)=0$에서$\displaystyle y=\frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle \sin\beta=\frac{1}{3}$그러므로 $\displaystyle \tan\beta=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

답 : $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}$

2. 모집단의 확률변수 $\displaystyle X$가 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m,\sigma^2)$을 따르므로 크기가 $\displaystyle n$인 표본의 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$는 $\displaystyle \mathrm{N}\left(m,\frac{\sigma^2}{n}\right)$을 따른다. 정규분포의 확률밀도함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 직선 $\displaystyle x=m$에 대하여 좌우 대칭인 종 모양의 곡선이다. 따라서 조건 (가)에서 $\displaystyle \mathrm{P}(X\ge8)+\mathrm{P}(\overline{X}\ge8)=1$이므로 $\displaystyle m=8$이다.두 확률변수 $\displaystyle Z_1=\frac{X-8}{\sigma}$, $\displaystyle Z_2=\frac{\overline{X}-8}{\sigma/\sqrt{n}}$은 모두 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$을 따르고 확률밀도함수 $\displaystyle f(z)$의 그래프는 직선 $\displaystyle z=0$에 대하여 좌우 대칭인 종 모양의 곡선이다. 조건 (나)에서 $\displaystyle \mathrm{P}(X\ge12)+\mathrm{P}(\overline{X}\ge7.5)=1$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}\left(Z_1\ge\frac{12-8}{\sigma}\right)+\mathrm{P}\left(Z_2\ge\frac{7.5-8}{\sigma/\sqrt{n}}\right)=1$이다. 즉, $\displaystyle \frac{4}{\sigma}=\frac{0.5\sqrt{n}}{\sigma}$이므로 $\displaystyle n=64$이다.$\displaystyle m$에 대한 신뢰도 $\displaystyle 95.44\%$의 신뢰구간은 $\displaystyle \overline{x}-2\times\frac{\sigma}{\sqrt{64}}\le m\le\overline{x}+2\times\frac{\sigma}{\sqrt{64}}$이고 조건 (다)에서 $\displaystyle \overline{x}-1\le m\le\overline{x}+1$이므로 $\displaystyle 2\times\frac{\sigma}{\sqrt{64}}=1$이다. 즉, $\displaystyle \sigma=4$이다.따라서 $\displaystyle m+\sigma+n=8+4+64=76$이다.답 : $\displaystyle 76$

3. 이항정리를 이용하여 $\displaystyle \{p+(1-p)\}^{2023}$와 $\displaystyle \{p+(p-1)\}^{2023}$을 각각 전개하면 다음과 같다.$\displaystyle \{p+(1-p)\}^{2023}=\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{2023-k}$$\displaystyle \{p+(p-1)\}^{2023}=\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(p-1)^{2023-k}=\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{2023-k}(-1)^{2023-k}$여기서 $\displaystyle (-1)^{2023-k}$의 값은 $\displaystyle k$가 홀수이면 $\displaystyle 1$, $\displaystyle k$가 짝수이면 $\displaystyle -1$을 가진다.이때 $\displaystyle \{p+(1-p)\}^{2023}-\{p+(p-1)\}^{2023}$을 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}1-(2p-1)^{2023}&=\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{2023-k}-\sum_{k=0}^{2023}{}_{2023}\mathrm{C}_k p^k(1-p)^{2023-k}(-1)^{2023-k}\\&=2\sum_{j=0}^{1011}{}_{2023}\mathrm{C}_{2j}p^{2j}(1-p)^{2023-2j}\end{aligned}$이 된다.즉, $\displaystyle 1-(2p-1)^{2023}=2\sum_{j=0}^{1011}{}_{2023}\mathrm{C}_{2j}p^{2j}(1-p)^{2023-2j}$는 윷짝 한 개를 $\displaystyle 2023$번을 던졌을 때 평평한 면이 나온 횟수가 짝수일 확률의 $\displaystyle 2$배와 같다.따라서 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{(2p-1)^{2023}}{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{(1-2p)^{2023}}{2}$이다.답 : $\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{(2p-1)^{2023}}{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{(1-2p)^{2023}}{2}$