자연계열 (오후1) 1번

1. $\displaystyle f(0)=0$이다. $\displaystyle s=x-t$라 놓으면, $\displaystyle ds/dt=-1$이고,$\displaystyle f(x)=\int_x^0(x-s)se^s(-1)\,ds=\int_0^x(x-s)se^s\,ds=\int_0^x xse^s\,ds-\int_0^x s^2e^s\,ds$.$\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x$로 미분을 하면,$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left[x\int_0^x se^s\,ds-\int_0^x s^2e^s\,ds\right]=\int_0^x se^s\,ds+x^2e^x-x^2e^x=\int_0^x se^s\,ds$이고 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이다.$\displaystyle f^{\prime}(x)$를 한번 더 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=xe^x$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$이다.

함수의 오목과 볼록을 조사하기 위해서, $\displaystyle x<0$일 때 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이다.따라서, 열린구간 $\displaystyle (-\infty,0)$에서 위로 볼록하고, 열린구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 아래로 볼록하다.변곡점의 판정으로 $\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=0$이고, $\displaystyle x=0$ 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$의 부호가 달라졌기에 점 $\displaystyle (0,f(0))$는 주어진 곡선의 변곡점이다.답 : $\displaystyle (-\infty,0)$에서 위로 볼록, $\displaystyle (0,\infty)$에서 아래로 볼록. 변곡점은 $\displaystyle (0,0)$

2. $\displaystyle f(x)=xe^x\int_0^x te^{-t}\,dt-e^x\int_0^x t^2e^{-t}\,dt$. $\displaystyle A=xe^x\int_0^x te^{-t}\,dt$, $\displaystyle B=e^x\int_0^x t^2e^{-t}\,dt$라고 하자.$\displaystyle \begin{aligned}A&=xe^x\int_0^x te^{-t}\,dt=xe^x\Biggl[(-1)te^{-t}\Biggr]_0^x-\int_0^x(-1)e^{-t}\,dt\end{aligned}$Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 소문항 2에서 $\displaystyle A=xe^x\int_0^x te^{-t}\,dt$를 계산할 때에는 부분적분한 결과 전체를 괄호로 묶어 $\displaystyle xe^x$를 곱해야 한다. 대학 해설의 첫 부분적분 식은 남은 적분에 $\displaystyle xe^x$를 곱하지 않았다. 다음 줄에서는 전체를 묶어 계산하므로 $\displaystyle A=-x^2-x+xe^x$는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}&=xe^x\left[-xe^{-x}+\int_0^x e^{-t}\,dx\right]=xe^x[-xe^{-x}-e^{-x}+1]\end{aligned}$Correction. 이 적분의 $\displaystyle dx$는 $\displaystyle dt$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}&=-x^2-x+xe^x\end{aligned}$이고,$\displaystyle \begin{aligned}B&=e^x\int_0^x t^2e^{-t}\,dt=e^x\Biggl[(-1)t^2e^{-t}\Biggr]_0^x-\int_0^x(2t)(-1)e^{-t}\,dt\end{aligned}$Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 소문항 2에서 $\displaystyle B=e^x\int_0^x t^2e^{-t}\,dt$를 계산할 때에는 부분적분한 결과 전체를 괄호로 묶어 $\displaystyle e^x$를 곱해야 한다. 대학 해설의 첫 부분적분 식은 남은 적분에 $\displaystyle e^x$를 곱하지 않았다. 다음 줄에서는 전체를 묶어 계산하므로 $\displaystyle B=-x^2-2x-2+2e^x$는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}&=e^x\left[-x^2e^{-x}+2\int_0^x te^{-t}\,dt\right]=e^x\left[-x^2e^{-x}+2\left\{\Biggl[(-1)te^{-t}\Biggr]_0^x+\int_0^x e^{-t}\,dt\right\}\right]\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}&=e^x[-x^2e^{-x}+2(-xe^{-x}-e^{-x}+1)]=-x^2-2x-2+2e^x\end{aligned}$따라서,$\displaystyle f(x)=(-x^2-x+xe^x)-(-x^2-2x-2+2e^x)=xe^x-2e^x+x+2$$\displaystyle f^{\prime}(x)=xe^x-e^x+1$이다.곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (0,0)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$이므로 접선 $\displaystyle \ell_1$의 방정식은 $\displaystyle y=0$이다. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (2,4)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(2)=e^2+1$이므로 접선 $\displaystyle \ell_2$의 방정식은 $\displaystyle y=(e^2+1)x-2(e^2-1)$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}f(x)-\{(e^2+1)x-2(e^2-1)\}&=xe^x-2e^x+x+2-(e^2+1)x+2(e^2-1)\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}&=(x-2)(e^x-e^2)\ge0\end{aligned}$이므로 곡선 $\displaystyle f(x)$는 접선 $\displaystyle \ell_2$보다 항상 위에 있다.

영역 $\displaystyle S_1+S_2$는$\displaystyle \begin{aligned}S_1+S_2&=\int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^2(xe^x-2e^x+x+2)\,dx=\Biggl[xe^x-3e^x+\frac{1}{2}x^2+2x\Biggr]_0^2\\&=9-e^2\end{aligned}$$\displaystyle \ell_2$의 $\displaystyle x$절편이 $\displaystyle \frac{2(e^2-1)}{e^2+1}$이므로 삼각형 $\displaystyle S_2$의 넓이는$\displaystyle \left(2-\frac{2(e^2-1)}{e^2+1}\right)\times4\times\frac{1}{2}=4-\frac{4(e^2-1)}{e^2+1}$따라서 구하고자 하는 영역 $\displaystyle S_1$의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}(S_1+S_2)-S_2&=(9-e^2)-\left(4-\frac{4(e^2-1)}{e^2+1}\right)=5-e^2+\frac{4(e^2-1)}{e^2+1}\\&=9-e^2-\frac{8}{e^2+1}=\frac{-e^4+8e^2+1}{e^2+1}\end{aligned}$답 : $\displaystyle \frac{-e^4+8e^2+1}{e^2+1}$

3. 양변을 $\displaystyle x$에 대해 미분하면$\displaystyle -e^{-x}\int_0^x g^{\prime}(t)\,dt+e^{-x}g^{\prime}(x)=e^{-x}g^{\prime}(x)-\sin(2\pi x)-2\pi x\cos(2\pi x)$$\displaystyle g(0)=0$이고,$\displaystyle g(x)-g(0)=e^x[\sin(2\pi x)+2\pi x\cos(2\pi x)]$$\displaystyle g(x)=e^x[\sin(2\pi x)+2\pi x\cos(2\pi x)]$

모든 양의 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle \sin(2\pi x)\le1$, $\displaystyle \cos(2\pi x)\le1$이므로 $\displaystyle \sin(2\pi x)+2\pi x\cos(2\pi x)\le1+2\pi x$이다.그러므로 $\displaystyle g(x)=e^x\{\sin(2\pi x)+2\pi x\cos(2\pi x)\}\le e^x(1+2\pi x)$이다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2023}g(x)\,dx&\le\int_0^{2023}e^x(1+2\pi x)\,dx=\int_0^{2023}e^x\,dx+2\pi\int_0^{2023}xe^x\,dx\\&=\Biggl[e^x\Biggr]_0^{2023}+2\pi\left(\Biggl[xe^x\Biggr]_0^{2023}-\int_0^{2023}e^x\,dx\right)=e^{2023}-1+2\pi(2023e^{2023}-e^{2023}+1)\\&=4046\pi e^{2023}+(1-2\pi)(e^{2023}-1)\end{aligned}$$\displaystyle (1-2\pi)(e^{2023}-1)<0$이므로$\displaystyle \int_0^{2023}g(x)\,dx\le4046\pi e^{2023}+(1-2\pi)(e^{2023}-1)<4046\pi e^{2023}$