상경계열 2번

1. 주머니 A에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수에서 $\displaystyle 2$를 뺀 수인 확률변수와 주머니 B에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수인 확률변수는 동일한 확률분포를 갖는다. 따라서 주머니 A에서 임의로 $\displaystyle 1$개의 공을 꺼내는 시행을 $\displaystyle 8$번 할 때, 나온 수를 $\displaystyle Z_{1},\ Z_{2},\ Z_{3},\ Z_{4},\ Z_{5},\ Z_{6},\ Z_{7},\ Z_{8}$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}W&=\frac{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+Z_{4}+(Z_{5}-2)+(Z_{6}-2)+(Z_{7}-2)+(Z_{8}-2)}{8}\\&=\frac{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+Z_{4}+Z_{5}+Z_{6}+Z_{7}+Z_{8}}{8}-1\end{aligned}$이다.주머니 A에서 임의로 $\displaystyle 1$개의 공을 꺼낼 때 공에 적혀 있는 수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하자. $\displaystyle X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}X&1&2&3&4&5&\text{계}\\\hline\mathrm{P}(X=x)&\frac{2}{7}&\frac{1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{1}{7}&\frac{2}{7}&1\end{array}$$\displaystyle X$의 평균과 분산은 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{1\times2+2\times1+3\times1+4\times1+5\times2}{7}=3$,$\displaystyle \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^{2})-\{\mathrm{E}(X)\}^{2}=\frac{1^{2}\times2+2^{2}\times1+3^{2}\times1+4^{2}\times1+5^{2}\times2}{7}-3^{2}=\frac{18}{7}$이다.$\displaystyle \overline{Z}=\frac{Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+Z_{4}+Z_{5}+Z_{6}+Z_{7}+Z_{8}}{8}$라고 하면$\displaystyle \mathrm{E}(\overline{Z})=\mathrm{E}(X)=3,\ \mathrm{V}(\overline{Z})=\frac{\mathrm{V}(X)}{8}=\frac{9}{28}$이다.따라서 확률변수 $\displaystyle W$의 평균과 분산은 각각$\displaystyle \mathrm{E}(W)=\mathrm{E}(\overline{Z}-1)=\mathrm{E}(\overline{Z})-1=2,\ \mathrm{V}(W)=\mathrm{V}(\overline{Z}-1)=\mathrm{V}(\overline{Z})=\frac{9}{28}$이다.

또한 $\displaystyle \mathrm{E}\left(\frac{5}{2}W-1\right)=4,\quad\frac{2521}{\mathrm{V}(-28W+10)}=\frac{2521}{(-28)^{2}\mathrm{V}(W)}=\frac{2521}{252}$이므로$\displaystyle 4<n<\frac{2521}{252}$을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 5,6,7,8,9,10$이고 그 중 짝수인 자연수 $\displaystyle n$의 개수는 $\displaystyle 3$이다.답 : 평균 $\displaystyle 2$, 분산 $\displaystyle \frac{9}{28}$, $\displaystyle 3$

2. $\displaystyle 1$번째 대국에서는 바둑기사가 이길 확률이 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle 2$번째부터 $\displaystyle 5$번째까지 대국 결과를 살펴보면 총 $\displaystyle 16$가지의 경우가 있다. 대국 결과와 상금을 받는 횟수, 확률을 표로 정리하면 다음과 같다. 대국 결과에서 이기는 경우와 지는 경우는 각각 O와 X로 나타낸다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}\text{대국 결과}&\text{상금을 받는 횟수}&\text{확률}\\\hline\mathrm{OOOOO}&4&\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{120}\\\hline\mathrm{OOOOX}&3&\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{120}\\\hline\mathrm{OOOXO}&2&\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{3}{120}\\\hline\mathrm{OOOXX}&2&\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{12}{120}\\\hline\mathrm{OOXOO}&2&\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{2}{120}\\\hline\mathrm{OOXOX}&1&\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{120}\\\hline\mathrm{OOXXO}&1&\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{6}{120}\\\hline\mathrm{OOXXX}&1&\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{120}\\\hline\mathrm{OXOOO}&2&\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{120}\\\hline\mathrm{OXOOX}&1&\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{120}\\\hline\mathrm{OXOXO}&0&\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{3}{120}\\\hline\mathrm{OXOXX}&0&\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{12}{120}\\\hline\mathrm{OXXOO}&1&\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{2}{120}\\\hline\mathrm{OXXOX}&0&\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{120}\\\hline\mathrm{OXXXO}&0&\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{5}=\frac{6}{120}\\\hline\mathrm{OXXXX}&0&\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{120}\end{array}$

상금을 받는 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$라고 하면 $\displaystyle X$의 확률분포는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}X&0&1&2&3&4&\text{계}\\\hline P(X=x)&\frac{53}{120}&\frac{44}{120}&\frac{18}{120}&\frac{4}{120}&\frac{1}{120}&1\end{array}$

$\displaystyle X$의 기댓값 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=1\times\frac{44}{120}+2\times\frac{18}{120}+3\times\frac{4}{120}+4\times\frac{1}{120}=\frac{96}{120}=\frac{4}{5}$이므로총 상금의 기댓값은 $\displaystyle 720\times\frac{4}{5}=576$만 원이다.답 : $\displaystyle 576$만 원

3. 오른쪽 그림의 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의해$\displaystyle n^{2}=(n+1)^{2}+(n-1)^{2}-2(n+1)(n-1)\cos\alpha$이고, 정리하면$\displaystyle \cos\alpha=\frac{n^{2}+2}{2(n^{2}-1)}$이다. 한편 삼각형 OBH에서 $\displaystyle R\sin\alpha=\frac{n}{2}$,

따라서 $\displaystyle R^{2}=\frac{n^{2}}{4}\frac{1}{\sin^{2}\alpha}=\frac{n^{2}}{4}\frac{1}{1-\cos^{2}\alpha}=\frac{n^{2}}{4}\frac{1}{1-\left(\frac{n^{2}+2}{2(n^{2}-1)}\right)^{2}}=\frac{(n^{2}-1)^{2}}{3(n^{2}-4)}$이다. 외접원의 넓이는 $\displaystyle S_{n}=\pi R^{2}$이므로 $\displaystyle \frac{S_{n}}{n^{2}}=\frac{(n^{2}-1)^{2}}{3n^{2}(n^{2}-4)}\pi$이다.

함수 $\displaystyle f(x)=\frac{(x^{2}-1)^{2}}{3x^{2}(x^{2}-4)}$에 대하여, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{(x^{2}-1)^{2}}{3x^{2}(x^{2}-4)}=\frac{1}{3}$이므로,구하는 극한값은 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$이다답 : $\displaystyle \frac{\pi}{3}$