자연계열 1번

1. 첫 번째 가로 행에서 조건에 맞게 빨간색, 파란색, 노란색으로 칠해진 정사각형의 개수를 $\displaystyle a,b,c$라 하면 $\displaystyle a>b$, $\displaystyle c\le2$, $\displaystyle a+b+c=5$를 만족한다. 이 세 가지 식을 만족하는 음이 아닌 정수 $\displaystyle a,b,c$에 대해 첫 번째 가로 행에서 빨간색, 파란색, 노란색으로 칠할 수 있는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열의 수에 의해 $\displaystyle \frac{5!}{a!b!c!}$이다.노란색이 칠해진 개수가 $\displaystyle 0,1,2$인 경우를 나누어 계산하여 합하면$\displaystyle \left(\frac{5!}{5!0!0!}+\frac{5!}{4!1!0!}+\frac{5!}{3!2!0!}\right)+\left(\frac{5!}{4!0!1!}+\frac{5!}{3!1!1!}\right)+\left(\frac{5!}{3!0!2!}+\frac{5!}{2!1!2!}\right)=16+25+40=81$이다.두 번째 가로 행에서 조건에 맞게 빨간색, 파란색, 노란색으로 칠해진 정사각형의 개수를 $\displaystyle d,e,f$라 하면 $\displaystyle d>e$, $\displaystyle f\le2$, $\displaystyle d+e+f=6$을 만족한다. 이 세 가지 식을 만족하는 음이 아닌 정수 $\displaystyle d,e,f$에 대해 두 번째 가로 행에서 빨간색, 파란색, 노란색으로 칠할 수 있는 경우의 수는 같은 것이 있는 순열의 수에 의해 $\displaystyle \frac{6!}{d!e!f!}$이다.노란색이 칠해진 개수가 $\displaystyle 0,1,2$인 경우를 나누어 계산하여 합하면$\displaystyle \left(\frac{6!}{6!0!0!}+\frac{6!}{5!1!0!}+\frac{6!}{4!2!0!}\right)+\left(\frac{6!}{5!0!1!}+\frac{6!}{4!1!1!}+\frac{6!}{3!2!1!}\right)+\left(\frac{6!}{4!0!2!}+\frac{6!}{3!1!2!}\right)=22+96+75=193$이다.

그러므로 구하고자 하는 총 경우의 수는 $\displaystyle 81\times193=15633$이다.답 : $\displaystyle 15633$

2. 전체 $\displaystyle 10\times n$개의 정사각형 중 빨간색, 파란색, 노란색으로 칠해진 부분의 넓이를 각각 $\displaystyle p,q,r$라고 하자. 각 세로 열마다 세 가지 색이 적어도 한 번씩 나타나는 경우를 세기 위해서 각 세로 열에서 빨간색, 파란색, 노란색으로 색칠된 것을 하나씩 미리 제외하고 경우를 세면 충분하다. 그러므로 구하고자 하는 순서쌍 $\displaystyle (p,q,r)$의 개수는 $\displaystyle p+q+r=7n$을 만족하는 음이 아닌 세 정수 $\displaystyle p,q,r$의 모든 순서쌍의 개수와 같다.Comment. 이 식의 $\displaystyle p,q,r$는 각 열에서 세 색을 하나씩 제외한 뒤의 개수이다.

이는 $\displaystyle 3$개의 문자 중에서 $\displaystyle 7n$개를 택하는 중복조합의 수$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{7n}={}_{7n+3-1}\mathrm{C}_2=\frac{(7n+2)(7n+1)}{2}$이다. 그러므로$\displaystyle f(5)+f(7)=\frac{37\times36}{2}+\frac{51\times50}{2}=666+1275=1941$이다.답 : $\displaystyle 1941$

3. $\displaystyle f(-1)=f(3)=0$이므로 $\displaystyle f(x)=r(x+1)(x-3)(x-s)$꼴을 가진다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=r(x+1)(x-3)+r(x+1)(x-s)+r(x-3)(x-s)\\&=r(3x^2-(4+2s)x-3+2s)\\&=r\left(3\left(x-\frac{2+s}{3}\right)^2-\frac{(2+s)^2}{3}-3+2s\right)\end{aligned}$$\displaystyle f^{\prime}(x)$가 $\displaystyle x=\frac23$에서 최댓값을 가지려면, $\displaystyle s=0$이고 $\displaystyle r<0$이어야 한다.한편, $\displaystyle f^{\prime}(0)=-3r=18$으로부터 $\displaystyle r=-6$을 얻고$\displaystyle f(x)=-6x(x+1)(x-3)=-6x^3+12x^2+18x$이다.

확률변수 $\displaystyle Y$는 $\displaystyle \int_{-1}^c f(x)\,dx$를 계산하여 얻을 수 있다.$\displaystyle \int_{-1}^c f(x)\,dx=\Biggl[-\frac32x^4+4x^3+9x^2\Biggr]_{-1}^c=-\frac32c^4+4c^3+9c^2-\frac72$

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}c&1&2&3\\\hline Y&8&\frac{81}{2}&64\\\hline\mathrm{P}(Y=y)&\frac16&\frac26&\frac36\end{array}$확률변수 $\displaystyle Y$의 기댓값은 $\displaystyle \mathrm{E}(Y)=8\times\frac16+\frac{81}{2}\times\frac26+64\times\frac36=\frac{281}{6}$이다.답 : $\displaystyle \frac{281}{6}$