상경계열 2번

1. $\displaystyle \lim_{x\to2^{-}}f(x)=\lim_{x\to2^{+}}f(x)=-4a+2b$이므로 $\displaystyle f(x)$는 연속함수이다.$\displaystyle f^{\prime}(c)=\frac{4a-2b}{c-2}<0$인데 $\displaystyle c\ge3$이므로 $\displaystyle b>2a$이다. 이에 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 1$ 또는 $\displaystyle 2$이다.한편, $\displaystyle f(x)$는 연속함수이므로 적분가능하다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{c}f(x)\,dx&=\int_{0}^{2}(-ax^{2}+bx)\,dx+\int_{2}^{c}\frac{2(2a-b)}{c-2}(x-c)\,dx\\&=-\frac{8}{3}a+2b+\frac{(b-2a)}{(c-2)}(c-2)^{2}=\frac{22}{3}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \frac{22}{3}-\left(-\frac{8}{3}a+2b\right)=(b-2a)(c-2)$이어야 한다.$\displaystyle b\ne2a$이므로 이를 $\displaystyle c$에 대해 정리하면 $\displaystyle c=\frac{22+8a-6b}{-6a+3b}+2$이다.이때 $\displaystyle c\ge3$조건에 의해 $\displaystyle 22+8a-6b\ge3b-6a$이어야 한다.이를 정리하면 $\displaystyle b\le\frac{14a+22}{9}$이다.

(경우 1) $\displaystyle a=1$이면, $\displaystyle b>2a$와 $\displaystyle b\le\frac{14a+22}{9}$를 만족하는 $\displaystyle b$는 $\displaystyle b=3,4$이다.이를 대입해보면 $\displaystyle a=1,b=3$일 때 $\displaystyle c=\frac{12}{3}+2=6$이고 $\displaystyle a=1,b=4$일 때 $\displaystyle c=\frac{6}{6}+2=3$이다.(경우 2) $\displaystyle a=2$이면, $\displaystyle b>2a$와 $\displaystyle b\le\frac{14a+22}{9}$를 만족하는 $\displaystyle b$가 $\displaystyle 5$ 하나뿐이다.그러나 $\displaystyle a=2,b=5$이면 $\displaystyle c=\frac{14}{3}$로 $\displaystyle 3$ 이상의 자연수가 아니게 된다.따라서 조건을 만족하는 $\displaystyle 5$ 이하의 두 자연수 $\displaystyle a,b$와 $\displaystyle 3$ 이상의 자연수 $\displaystyle c$의 순서쌍 $\displaystyle (a,b,c)$는 $\displaystyle (1,3,6),(1,4,3)$의 두 가지이다.답 : $\displaystyle (1,3,6),(1,4,3)$

2. 모든 확률의 합이 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle \frac{k}{1\times2}+\frac{k}{2\times3}+\cdots+\frac{k}{21\times22}+\frac{4}{11}=1$,$\displaystyle \left(k-\frac{k}{2}\right)+\left(\frac{k}{2}-\frac{k}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{k}{21}-\frac{k}{22}\right)=k-\frac{k}{22}=\frac{7}{11}$이 성립한다.따라서 $\displaystyle k=\frac{2}{3}$이고

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(k+1<X<k+8)&=\mathrm{P}(2\le X\le8)=\mathrm{P}(X=2)+\mathrm{P}(X=3)+\cdots+\mathrm{P}(X=8)\\&=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2\times3}+\frac{2}{3}\times\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{2}{3}\times\frac{1}{8\times9}\\&=\frac{2}{3}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\frac{2}{3}\times\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\frac{2}{3}\times\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\right)\\&=\frac{2}{3}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{9}\right)\\&=\frac{7}{27}\end{aligned}$이다. 따라서 구하고자 하는 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(k+1<X<k+8)$은 $\displaystyle \frac{7}{27}$이다.답 : $\displaystyle \mathrm{P}(k+1<X<k+8)=\frac{7}{27}$

3. 이 게임을 한 번 하여 참가자가 얻은 점수를 확률변수 $\displaystyle X$라 했을 때,$\displaystyle \mathrm{P}(X=0)=\frac{6\times5\times5\times5}{6^{4}}=\frac{125}{216},\quad\mathrm{P}(X=2+x)=\frac{6\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}\times1\times5\times4}{6^{4}}=\frac{60}{216},$Comment. 예시답안에 적힌 수치들은 게임의 결과 유형별 확률이다. $\displaystyle x=-2,-3,-4,-6$이면 두 유형의 점수가 모두 $\displaystyle 0$이 되므로, $\displaystyle X$의 값별 확률을 쓸 때는 해당 확률을 합쳐야 한다. 예를 들어 $\displaystyle x=-2$이면 $\displaystyle \mathrm{P}(X=0)=\frac{125+60}{216}=\frac{185}{216}$이다. 다만 유형별로 점수와 확률을 곱해 더한 기댓값은 그대로 유효하며, 점수가 겹치지 않는 $\displaystyle x=-1$의 분산에도 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \mathrm{P}(X=3+x)=\frac{6\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}\times1\times5\times1}{6^{4}}=\frac{15}{216},\quad\mathrm{P}(X=4+x)=\frac{6\times{}_{3}\mathrm{C}_{2}\times1\times1\times5}{6^{4}}=\frac{15}{216},$$\displaystyle \mathrm{P}(X=6+x)=\frac{6\times{}_{3}\mathrm{C}_{3}\times1\times1\times1}{6^{4}}=\frac{1}{216}$이다.

따라서 확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값은$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(X)&=0\times\frac{125}{216}+(2+x)\times\frac{60}{216}+(3+x)\times\frac{15}{216}+(4+x)\times\frac{15}{216}+(6+x)\times\frac{1}{216}\\&=\frac{231+91x}{216}\end{aligned}$

$\displaystyle x=-1$일 때 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{140}{216}=\frac{35}{54}$이다.$\displaystyle \mathrm{E}(X^{2})=0^{2}\times\frac{125}{216}+1^{2}\times\frac{60}{216}+2^{2}\times\frac{15}{216}+3^{2}\times\frac{15}{216}+5^{2}\times\frac{1}{216}=\frac{280}{216}=\frac{35}{27}$이므로$\displaystyle X$의 분산은 $\displaystyle \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^{2})-\{\mathrm{E}(X)\}^{2}=\frac{35}{27}-\left(\frac{35}{54}\right)^{2}=\frac{2555}{2916}$이다.답 : $\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{231+91x}{216},\quad\mathrm{V}(X)=\frac{2555}{2916}$