자연계열 2번

1. 점 P의 좌표를 $\displaystyle (a,b)$라 두면 점 Q의 좌표는 $\displaystyle (b,a)$이고, $\displaystyle a,b$의 관계식 $\displaystyle \frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{2}=1$로부터$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=(a+1,b)\cdot(b,a+1)=2b(a+1)=\pm2\sqrt2(a+1)\sqrt{1-\frac{a^2}{3}}$를 얻는다. 따라서, 닫힌구간 $\displaystyle [-\sqrt3,\sqrt3]$에서 함수 $\displaystyle f(a)=2\sqrt2(a+1)\sqrt{1-\frac{a^2}{3}}$의 최댓값과 함수 $\displaystyle -f(a)$의 최댓값 중 큰 값이 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$의 최댓값이다. 함수 $\displaystyle f(a)$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=-\frac{2\sqrt2(2a+3)(a-1)}{\sqrt{3(3-a^2)}}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$으로부터 $\displaystyle a=-\frac32,1$을 얻는다. 함수의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}a&-\sqrt3&\cdots&-\frac32&\cdots&1&\cdots&\sqrt3\\\hline f^{\prime}(a)&&-&0&+&0&-&\\\hline f(a)&0&\searrow&-\frac{\sqrt2}{2}&\nearrow&\frac{8\sqrt3}{3}&\searrow&0\end{array}$함수 $\displaystyle f(a)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{8\sqrt3}{3}$이고 함수 $\displaystyle -f(a)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{8\sqrt3}{3}$이다.답 : $\displaystyle \frac{8\sqrt3}{3}$

2. $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$일 때 $\displaystyle S(\theta)$를 구해보자. 선분 AB와 선분 EH가 만나는 점을 M, 선분 AB와 선분 EF가 만나는 점을 N이라 두면 $\displaystyle S(\theta)$는 삼각형 OMN의 넓이의 8배이다. 선분 AN과 선분 EO가 만나는 점을 P라 두면, $\displaystyle \angle\mathrm{PEN}=\angle\mathrm{OAP}=\frac{\pi}{4}$이고 $\displaystyle \angle\mathrm{EPN}=\angle\mathrm{APO}$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{PNE}=\angle\mathrm{AOP}=\theta$이다.

따라서, $\displaystyle \pi=\angle\mathrm{PNE}+\angle\mathrm{PNO}+\angle\mathrm{ONF}=\theta+2\angle\mathrm{PNO}$로부터 $\displaystyle \angle\mathrm{PNO}=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}$를 얻고, $\displaystyle \angle\mathrm{MON}=\frac{\pi}{4}$로부터 $\displaystyle \angle\mathrm{OMN}=\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}$를 얻는다. 점 O에서 선분 MN에 내린 수선의 발을 Q라 하면 선분 OQ의 길이는 $\displaystyle \frac12$이므로

$\displaystyle S(\theta)=8\times\frac12\times\left(\frac12\cot\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)+\frac12\cot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)\right)\times\frac12=\frac{1-\tan(\theta/2)}{1+\tan(\theta/2)}+\tan\frac{\theta}{2}$이다. 함수 $\displaystyle S(\theta)$를 미분하면$\displaystyle S^{\prime}(\theta)=-\frac{\sec^2(\theta/2)}{(1+\tan(\theta/2))^2}+\frac12\sec^2\frac{\theta}{2}$이므로 $\displaystyle S^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{(2/\sqrt3)^2}{(1+1/\sqrt3)^2}+\frac12\left(\frac2{\sqrt3}\right)^2=2\sqrt3-\frac{10}{3}$이다.답 : $\displaystyle 2\sqrt3-\frac{10}{3}$

3. 두 곡선 $\displaystyle y=\cos x$와 $\displaystyle y=1-ax^2$이 $\displaystyle 4n+1$개의 점에서 만나려면구간 $\displaystyle (2n\pi,(2n+1)\pi)$에서 교점의 개수가 $\displaystyle 1$이고 그 점에서 접선의 기울기가 같아야 한다. 이 구간에서 두 곡선이 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_n$이라 두면,$\displaystyle \cos x_n=1-a_nx_n^2$과 $\displaystyle -\sin x_n=-2a_nx_n$이 성립한다.식 $\displaystyle 1=\cos^2x_n+\sin^2x_n=(1-a_nx_n^2)^2+(2a_nx_n)^2$을 정리하면$\displaystyle a_n^2x_n^2\left(x_n^2-\frac2{a_n}+4\right)=0$인데, $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle x_n$은 모두 양수이므로 $\displaystyle x_n^2=\frac2{a_n}-4$를 얻는다.따라서 $\displaystyle \cos\sqrt{\frac2{a_n}-4}=\cos x_n=1-a_nx_n^2=1-\frac{2x_n^2}{x_n^2+4}$이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\infty$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos\sqrt{\frac2{a_n}-4}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2x_n^2}{x_n^2+4}\right)=-1$이다.답 : $\displaystyle -1$