자연계열 (오후1) 2번

1. 그림과 같이 반원을 좌표평면에 두면 Q의 좌표는 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)$이고, P의 좌표는 $\displaystyle \left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right),\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\right)$이다. 선분PQ의 중점을 R이라 하면, 선분 RH는 선분 PQ가 지름인 반원의 반지름이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{RH}}=\frac12$이다.

따라서 $\displaystyle \frac12=\overline{\mathrm{RH}}=\frac12\left(\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+\sin\theta\right)$이고, 삼각함수의 덧셈정리를 사용해서 정리하면 $\displaystyle 3\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=2$이다.

$\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$이므로, 두 식으로부터$\displaystyle \cos\theta=\frac{3\sqrt2+\sqrt3}{6}$, $\displaystyle \sin\theta=\frac{3-\sqrt6}{6}$을 얻는다 ($\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$).답 : $\displaystyle \cos\theta=\frac{3\sqrt2+\sqrt3}{6}$, $\displaystyle \sin\theta=\frac{3-\sqrt6}{6}$

2. 호 PQ 위의 점 S의 좌표는 $\displaystyle (\cos(\theta+t),\sin(\theta+t))$라 할 수 있다 ($\displaystyle 0\le t\le\frac{\pi}{3}$).선분 PQ의 중점 R의 좌표는$\displaystyle \left(\frac12\left(\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\theta\right),\frac12\left(\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+\sin\theta\right)\right)=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac12\right)$이므로직선 OR의 기울기는 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}$이고, 직선 PQ는 직선 OR과 수직이므로 직선 PQ의 기울기는 $\displaystyle -\sqrt2$이다. 따라서 직선 PQ의 방정식은 $\displaystyle y-\frac12=-\sqrt2\left(x-\frac{\sqrt2}{2}\right)$이 되고 정리하면 $\displaystyle y=-\sqrt2x+\frac32$이다.이로부터 점 T의 좌표는 $\displaystyle \left(\cos(\theta+t),-\sqrt2\cos(\theta+t)+\frac32\right)$이고,따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{ST}}=f(t)=\sin(\theta+t)-\left(-\sqrt2\cos(\theta+t)+\frac32\right)=\frac32\cos t+\frac{\sqrt3}{2}\sin t-\frac32$이다.

$\displaystyle f(t)$의 도함수를 구하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac32\sin t+\frac{\sqrt3}{2}\cos t$이므로, 아래 증가와 감소를 나타내는 표에 따라 $\displaystyle \overline{\mathrm{ST}}$의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt3-\frac32$이다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}t&0&&\frac{\pi}{6}&&\frac{\pi}{3}\\\hline f^{\prime}(t)&&+&0&-&\\\hline f(t)&0&\nearrow&\sqrt3-\frac32&\searrow&0\end{array}$답 : $\displaystyle \sqrt3-\frac32$

3. 오른쪽 그림에서 직선 $\displaystyle l$과 수직이고 원의 중심 O를 포함하는 평면을 생각하면, 지름이 $\displaystyle 2$인 반구와 지름이 $\displaystyle 1$인 반구가 이 평면과 만나서 생기는 도형은 각각 오른쪽 아래 그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2$인 선분 AB를 지름으로 하는 지름이 $\displaystyle 2$인 반구와 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$인 선분 PQ를 지름으로 하는 반구이다.Correction. 평면과 만나서 생기는 두 도형을 가리킨 ‘반구’는 ‘반원’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

평면 $\displaystyle \alpha$와 평면 $\displaystyle \beta$가 이루는 각을 $\displaystyle a$라 하면,그림에서 $\displaystyle a=\angle\mathrm{RBH}=\angle\mathrm{ORH}$이므로$\displaystyle \cos a=\frac{\overline{\mathrm{RH}}}{\overline{\mathrm{OR}}}$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{RH}}=\frac12$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OR}}$은 한 변의 길이가 1인 정삼각형OPQ의 높이이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{OR}}=\frac{\sqrt3}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle \cos a=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac1{\sqrt3}$이다.

원 $\displaystyle C$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이므로, 구하는 정사영의 넓이는 $\displaystyle \frac{\pi}{4}\cos a=\frac{\pi}{4\sqrt3}$이다.답 : $\displaystyle \frac{\pi}{4\sqrt3}$