자연계열 (오후1) 1번

1. 전체 직육면체에서 꼭짓점 P를 포함하고 정사각형 $\displaystyle 25$개로 이루어진 면을 면 X, 꼭짓점 Q를 포함하고 정사각형 $\displaystyle 25$개로 이루어진 면을 면 Y라고 하자. 꼭짓점 P에서 꼭짓점 Q까지 최단거리로 가려면 가로, 세로 방향으로 정육면체의 모서리를 5개씩 지나고 면 X와 면 Y를 동시에 만나는 정육면체의 모서리를 $\displaystyle 1$개 지난다. 면 X 또는 면 Y에 포함된 정사각형에서 가로 방향으로 이동하는 것을 $\displaystyle d$, 세로 방향으로 이동하는 것을 $\displaystyle e$, 면 X와 면 Y를 동시에 만나는 정육면체의 모서리를 따라 이동하는 것을 $\displaystyle f$라고 하자. 꼭짓점 Q와 모서리로 연결된 면 X의 꼭짓점을 꼭짓점 R라고 하자. P에서 R까지 최단거리로 이동하는 총 경우의 수는 10개의 문자 $\displaystyle d,d,d,d,d,e,e,e,e,e$를 일렬로 나열한 경우의 수로 $\displaystyle \frac{10!}{5!\times5!}=252$이다.이 중 색칠된 정육면체의 꼭짓점을 지나서 가는 경우의 수는 $\displaystyle 1+5^2=26$이다.그러므로 색칠된 정육면체의 꼭짓점을 지나지 않고 P에서 R까지 최단거리로 이동하는 총 경우의 수는 $\displaystyle 252-26=226$이다.

색칠된 정육면체의 꼭짓점을 지나지 않고 P에서 Q까지 최단거리로 이동하는 경우의 수는 $\displaystyle d,d,d,d,d,e,e,e,e,e,f$를 나열하는 경우의 수와 같다. 이러한 나열은 색칠된 정육면체의 꼭짓점을 지나지 않고 P에서 R까지 최단거리로 이동하는 경우인 $\displaystyle d,d,d,d,d,e,e,e,e,e$ 문자의 나열에 $\displaystyle f$를 하나 넣어서 얻어진다. 각 $\displaystyle d,d,d,d,d,e,e,e,e,e$문자의 나열에 $\displaystyle f$를 넣는 방법의 수는 $\displaystyle 11$이므로 총 경우의 수는 $\displaystyle 226\times11=2486$이다.답 : $\displaystyle 226\times11=2486$

2. $\displaystyle c=ab$, $\displaystyle d=\frac{a}{2}-6$라 하자.순서쌍 $\displaystyle (a,b)$가 가질 수 있는 값이 $\displaystyle (4,0)$, $\displaystyle (4,1)$, $\displaystyle (6,0)$, $\displaystyle (6,1)$, $\displaystyle (8,0)$, $\displaystyle (8,1)$이므로 순서쌍 $\displaystyle (c,d)$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle (0,-4)$, $\displaystyle (4,-4)$, $\displaystyle (0,-3)$, $\displaystyle (6,-3)$, $\displaystyle (0,-2)$, $\displaystyle (8,-2)$이다.$\displaystyle (ab)^2-4\left(\frac{a}{2}-6\right)=c^2-4d\ge8>0$이다. 따라서$\displaystyle (x+7)\left(x^2-abx+\frac{a}{2}-6\right)=(x+7)(x^2-cx+d)=0$은 세 근 $\displaystyle x_1=-7$,$\displaystyle x_2=\frac{c-\sqrt{c^2-4d}}{2}$, $\displaystyle x_3=\frac{c+\sqrt{c^2-4d}}{2}$을 가진다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}(c,d)&(0,-4)&(4,-4)&(0,-3)&(6,-3)&(0,-2)&(8,-2)\\\hline x_2&-2&2-2\sqrt2&-\sqrt3&3-2\sqrt3&-\sqrt2&4-3\sqrt2\end{array}$

$\displaystyle x_1<-2\le x_2$이므로 $\displaystyle x_1<x_2<x_3$이다. 세 점 중에서 가장 가까운 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle x_2-x_1=\frac{c-\sqrt{c^2-4d}}{2}+7$, $\displaystyle x_3-x_2=\sqrt{c^2-4d}$를 비교하면 된다.$\displaystyle \begin{aligned}x_2-x_1<x_3-x_2&\Leftrightarrow\frac{c-\sqrt{c^2-4d}}{2}+7<\sqrt{c^2-4d}\Leftrightarrow c+14<3\sqrt{c^2-4d}\\&\Leftrightarrow c^2+28c+196<9(c^2-4d)\Leftrightarrow9d+49<c(2c-7)\end{aligned}$이므로 순서쌍 $\displaystyle (c,d)$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle (6,-3)$, $\displaystyle (8,-2)$, 즉, 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle (6,1)$, $\displaystyle (8,1)$이다.한편, $\displaystyle x_2-x_1>x_3-x_2\Leftrightarrow9d+49>c(2c-7)$이고, 순서쌍 $\displaystyle (c,d)$가 가질 수 있는 값이 $\displaystyle (0,-4)$, $\displaystyle (4,-4)$, $\displaystyle (0,-3)$, $\displaystyle (0,-2)$이므로 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle (4,0)$, $\displaystyle (4,1)$, $\displaystyle (6,0)$, $\displaystyle (8,0)$이다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}a&4&&6&&8&\\\hline b&0&1&0&1&0&1\\\hline (c,d)&(0,-4)&(4,-4)&(0,-3)&(6,-3)&(0,-2)&(8,-2)\\\hline X&4&4\sqrt2&2\sqrt3&10-2\sqrt3&2\sqrt2&11-3\sqrt2\\\hline \mathrm{P}(X=x)&\frac36\times\frac6{10}=\frac3{10}&\frac36\times\frac4{10}=\frac15&\frac26\times\frac6{10}=\frac15&\frac26\times\frac4{10}=\frac2{15}&\frac16\times\frac6{10}=\frac1{10}&\frac16\times\frac4{10}=\frac1{15}\end{array}$

확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값은$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(X)&=4\times\frac{3}{10}+4\sqrt2\times\frac15+2\sqrt3\times\frac15+(10-2\sqrt3)\times\frac2{15}+2\sqrt2\times\frac1{10}+(11-3\sqrt2)\times\frac1{15}\\&=\frac{49}{15}+\frac45\sqrt2+\frac2{15}\sqrt3\end{aligned}$답 : $\displaystyle \frac{49}{15}+\frac45\sqrt2+\frac2{15}\sqrt3$

3. 함수 $\displaystyle p(x)=\frac{\cos x}{\sin x}$에 대해서 $\displaystyle p^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\frac{\cos x}{\sin x}=-\frac{1}{\sin^2x}$이다.$\displaystyle \frac{d}{dx}p(2x)=2p^{\prime}(2x)=-\frac{2}{\sin^2 2x}$을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=\int_{\frac{\pi}{6}}^x f(t)\,dt=\int_{\frac{\pi}{6}}^x\frac{1}{\sin^2 2t}\,dt=\Biggl[-\frac12p(2t)\Biggr]_{\frac{\pi}{6}}^x=-\frac{\cos2x}{2\sin2x}+\frac{\cos\frac{\pi}{3}}{2\sin\frac{\pi}{3}}\\&=-\frac12\frac{\cos2x}{\sin2x}+\frac1{2\sqrt3}\end{aligned}$을 얻는다.한편, $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln|q(2x)|=\frac{2q^{\prime}(2x)}{q(2x)}$를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}h(x)&=\int_{\frac{\pi}{6}}^x g(t)\,dt=-\frac12\int_{\frac{\pi}{6}}^x\left(\frac{\cos2t}{\sin2t}-\frac1{\sqrt3}\right)\,dt=-\frac12\Biggl[\frac12\ln|sin\,2t|-\frac1{\sqrt3}t\Biggr]_{\frac{\pi}{6}}^x\\&=-\frac14\ln|sin\,2x|+\frac14\ln\sin\frac{\pi}{3}+\frac1{2\sqrt3}x-\frac{\pi}{12\sqrt3}\end{aligned}$

$\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{\{g(x)\}^2}{f(x)}=\lim_{x\to0+}\frac{\left(-\frac12\frac{\cos2x}{\sin2x}+\frac1{2\sqrt3}\right)^2}{\frac1{\sin^2 2x}}=\lim_{x\to0+}\left(-\frac12\cos2x+\frac1{2\sqrt3}\sin2x\right)^2=\frac14$이고$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to0+}\frac{h(x)}{f(x)}&=\lim_{x\to0+}\left(-\frac14\sin^2 2x\ln|sin\,2x|+\frac14\ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)\sin^2 2x+\frac1{2\sqrt3}x\sin^2 2x-\frac{\pi}{12\sqrt3}\sin^2 2x\right)\\&=\lim_{t\to0+}-\frac14t^2\ln|t|=0\end{aligned}$이므로$\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{h(x)+\{g(x)\}^2}{f(x)}=\lim_{x\to0+}\frac{h(x)}{f(x)}+\lim_{x\to0+}\frac{\{g(x)\}^2}{f(x)}=\frac14$이다.답 : $\displaystyle \frac14$