자연계열 (오전) 2번

1. $\displaystyle k$는 $\displaystyle \frac14$의 확률로 $\displaystyle 1,2,3,4$중 하나의 값을 갖는다. 한편 $\displaystyle l=1,2,3,4$일 때, $\displaystyle l$의 값을 확률변수 $\displaystyle L$이라 하면, $\displaystyle \mathrm{P}(L=l)$은 $\displaystyle 7$개의 공에서 $\displaystyle 5$가 적힌 공을 $\displaystyle l$개, $\displaystyle 6$이 적힌 공을 $\displaystyle 4-l$개 임의로 동시에 꺼내는 경우의 수를 $\displaystyle 7$개의 공에서 임의로 $\displaystyle 4$개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수로 나눈 값으로 $\displaystyle \mathrm{P}(L=l)=\frac{{}_{4}\mathrm{C}_l\times{}_{3}\mathrm{C}_{4-l}}{{}_{7}\mathrm{C}_4}$이다. 확률변수 $\displaystyle L$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}L&1&2&3&4\\\hline \mathrm{P}(L=l)&\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}\times{}_{3}\mathrm{C}_{3}}{{}_{7}\mathrm{C}_4}=\frac{4}{35}&\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}\times{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{7}\mathrm{C}_4}=\frac{18}{35}&\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}}{{}_{7}\mathrm{C}_4}=\frac{12}{35}&\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}\times{}_{3}\mathrm{C}_{0}}{{}_{7}\mathrm{C}_4}=\frac{1}{35}\end{array}$

앞선 결과로부터 확률변수 $\displaystyle W$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}W&\frac14&\frac13&\frac12&\frac23&\frac34&1&\frac43&\frac32&2&3&4\\\hline (k,l)&(1,4)&(1,3)&\substack{(1,2),\\(2,4)}&(2,3)&(3,4)&\substack{(1,1),(2,2),\\(3,3),(4,4)}&(4,3)&(3,2)&\substack{(2,1),\\(4,2)}&(3,1)&(4,1)\\\hline \mathrm{P}(W=w)&\frac{1}{140}&\frac{12}{140}&\frac{19}{140}&\frac{12}{140}&\frac{1}{140}&\frac{35}{140}&\frac{12}{140}&\frac{18}{140}&\frac{22}{140}&\frac{4}{140}&\frac{4}{140}\end{array}$

앞선 표로부터 확률변수 $\displaystyle W$의 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}E(W)&=\frac{1}{140}\left(1\times\frac14+12\times\frac13+19\times\frac12+12\times\frac23+1\times\frac34\right)\\&\quad+\frac{1}{140}\left(35\times1+12\times\frac43+18\times\frac32+22\times2+4\times3+4\times4\right)=\frac{69}{56}\end{aligned}$답 : $\displaystyle \frac{69}{56}$

2. $\displaystyle k,l$에 대하여 점 A에서 점 B까지 최단거리로 이동하는 경우의 수는 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}k\backslash l&1&2&3&4\\\hline 1&\frac{2!}{1!1!}=2&\frac{3!}{1!2!}=3&\frac{4!}{1!3!}=4&\frac{5!}{1!4!}=5\\\hline 2&\frac{3!}{2!1!}=3&\frac{4!}{2!2!}=6&\frac{5!}{2!3!}=10&\frac{6!}{2!4!}=15\\\hline 3&\frac{4!}{3!1!}=4&\frac{5!}{3!2!}=10&\frac{6!}{3!3!}=20&\frac{7!}{3!4!}=35\\\hline 4&\frac{5!}{4!1!}=5&\frac{6!}{4!2!}=15&\frac{7!}{4!3!}=35&\frac{8!}{4!4!}=70\end{array}$

그리고 $\displaystyle k,l$에 대하여 확률변수 $\displaystyle U$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}U&2&3&4&5&6&10&15&20&35&70\\\hline (k,l)&(1,1)&\substack{(1,2),\\(2,1)}&\substack{(1,3),\\(3,1)}&\substack{(1,4),\\(4,1)}&(2,2)&\substack{(2,3),\\(3,2)}&\substack{(2,4),\\(4,2)}&(3,3)&\substack{(3,4),\\(4,3)}&(4,4)\\\hline \mathrm{P}(U=u)&\frac{4}{140}&\frac{22}{140}&\frac{16}{140}&\frac{5}{140}&\frac{18}{140}&\frac{30}{140}&\frac{19}{140}&\frac{12}{140}&\frac{13}{140}&\frac{1}{140}\end{array}$

이를 근거로 하여 $\displaystyle (k,l)$이 $\displaystyle (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)$일 때 $\displaystyle U\le10$을 만족함을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(U\le10)&=\frac{4+4+18+4+12+4+1+18+18+12}{140}\\&=\frac{4\times4+18\times3+12\times2+1\times1}{35\times4}=\frac{19}{28}\end{aligned}$답 : $\displaystyle \frac{19}{28}$

3. $\displaystyle Y=-0.5X+5$이므로 $\displaystyle m=\mathrm{E}(Y)=-0.5\mathrm{E}(X)+5=0$,$\displaystyle \sigma=\sigma(Y)=|-0.5|\sigma(X)=2$이다. 표본평균을 $\displaystyle \overline{y}$라고 하면 모평균 $\displaystyle m$에 대한 신뢰도 $\displaystyle 98.76\%$의 신뢰구간은 $\displaystyle \overline{y}-2.5\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le\overline{y}+2.5\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$이다. 여기서$\displaystyle b-a=2\times2.5\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{5\sigma}{\sqrt{n}}$이므로 $\displaystyle 1<\frac{5\sigma}{\sqrt{n}}$, $\displaystyle \sqrt{n}<10$, $\displaystyle n<100$가 성립한다.모평균 $\displaystyle m$에 대한 신뢰도 $\displaystyle 86.64\%$의 신뢰구간은 $\displaystyle \overline{y}-1.5\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le\overline{y}+1.5\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$이다.$\displaystyle d-c=2\times1.5\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3\sigma}{\sqrt{n}}$이므로 $\displaystyle \frac{3\sigma}{\sqrt{n}}<\frac65$, $\displaystyle \sqrt{n}>5$, $\displaystyle n>25$가 성립한다.

따라서 두 부등식 $\displaystyle 1<b-a$와 $\displaystyle d-c<\frac65$를 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$의 최댓값과 최솟값은 각각 $\displaystyle 99$와 $\displaystyle 26$이다.답 : 최댓값 $\displaystyle 99$, 최솟값 $\displaystyle 26$