자연계열 (오전) 1번

1. $\displaystyle a_n=ar^{n-1}$ ($\displaystyle -1<r<1$)이라고 하면 $\displaystyle |a_n|=|a||r|^{n-1}$, $\displaystyle a_{2n}=ar^{2n-1}=ar\times r^{2(n-1)}$이다. 그러므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}=\frac{ar}{1-r^2}=-4$, $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\frac{|a|}{1-|r|}=20$이다.(경우 1) $\displaystyle a>0,0<r<1$이면,$\displaystyle -4=\frac{ar}{1-r^2}=\frac{a}{1-r}\frac{r}{1+r}=\frac{20r}{1+r}\Rightarrow5r=-(1+r)\Rightarrow r=-\frac{1}{6}<0$이다.따라서 모순이다.(경우 2) $\displaystyle a>0,-1<r<0$이면, $\displaystyle -4=\frac{ar}{1-r^2}=\frac{a}{1+r}\frac{r}{1-r}=\frac{20r}{1-r}$이다.이를 정리하면 $\displaystyle 5r=-(1-r)\Rightarrow r=-\frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle a=20(1+r)=15$이다.(경우 3) $\displaystyle a<0,0<r<1$이면, $\displaystyle -4=\frac{ar}{1-r^2}=\frac{-a}{1-r}\frac{-r}{1+r}=-\frac{20r}{1+r}$이다.이를 정리하면 $\displaystyle 5r=1+r\Rightarrow r=\frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle a=-20(1-r)=-15$이다.(경우 4) $\displaystyle a<0,-1<r<0$이면, $\displaystyle -4=\frac{ar}{1-r^2}=\frac{-a}{1+r}\frac{-r}{1-r}=-\frac{20r}{1-r}$이다.이를 정리하면 $\displaystyle 5r=1-r\Rightarrow r=\frac{1}{6}>0$따라서 모순이다.(참고) $\displaystyle ar=-4(1-r^2)<0$임을 이용하여 (경우 2)와 (경우 3)만 바로 고려할 수 있다.한편, $\displaystyle a_{4n-1}=ar^{4n-2}=ar^2\times r^{4(n-1)}$이므로 $\displaystyle l=\sum_{n=1}^{\infty}a_{4n-1}$이라 하면 $\displaystyle l=\frac{ar^2}{1-r^4}$$\displaystyle (a,r)=\left(15,-\frac{1}{4}\right)$이면 $\displaystyle l=\frac{15\times\left(-\frac{1}{4}\right)^2}{1-\left(-\frac{1}{4}\right)^4}=\frac{\frac{15}{4^2}}{\frac{4^4-1^4}{4^4}}=\frac{15\times16}{(16+1)(16-1)}=\frac{16}{17}$,$\displaystyle (a,r)=\left(-15,\frac{1}{4}\right)$이면 $\displaystyle l=\frac{-15\times\left(\frac{1}{4}\right)^2}{1-\left(\frac{1}{4}\right)^4}=\frac{-\frac{15}{4^2}}{\frac{4^4-1^4}{4^4}}=\frac{-15\times16}{(16+1)(16-1)}=-\frac{16}{17}$따라서 $\displaystyle l$이 될 수 있는 모든 값은 $\displaystyle \frac{16}{17},-\frac{16}{17}$이다.답 : $\displaystyle \frac{16}{17}$, $\displaystyle -\frac{16}{17}$

2. $\displaystyle \alpha=0$이면 $\displaystyle 0=\int_0^\alpha|f(x)|\,dx=\frac{50}{3}$이므로 모순이다. $\displaystyle \alpha<0$이면$\displaystyle \int_0^\alpha|f(x)|\,dx=-\int_\alpha^0|f(x)|\,dx$이고 $\displaystyle \int_\alpha^0|f(x)|\,dx$은 곡선 $\displaystyle y=|f(x)|$과 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=\alpha$, $\displaystyle x=0$으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로 양수이다. 그런데 $\displaystyle \frac{50}{3}=\int_0^\alpha|f(x)|\,dx<0$이므로 모순이다. 따라서 $\displaystyle 0<\alpha<\beta$이고 $\displaystyle f(x)=x^2+px+q$라 하면 $\displaystyle q=\alpha\beta>0$이다. $\displaystyle y=h(x)$를 곡선 $\displaystyle y=|f(x)|$ 위의 점 $\displaystyle (6,|f(6)|)$에서의 접선의 방정식이라 하자.이때, $\displaystyle f(6)>0$이라 하면,$\displaystyle h(x)=f^{\prime}(6)(x-6)+f(6)=(12+p)(x-6)+(36+6p+q)$$\displaystyle h(0)=-6(12+p)+(36+6p+q)=q-36$이다. 따라서 조건 (2)에 의해 $\displaystyle h(0)=|f(0)|=q$이지만, $\displaystyle q-36=q$를 만족시키는 $\displaystyle q$는 없으므로 $\displaystyle f(6)>0$이 될 수 없다.또한 함수 $\displaystyle |f(x)|$가 $\displaystyle x=6$에서 미분가능하므로 $\displaystyle f(6)\ne0$이다. 따라서 $\displaystyle f(6)<0$이고,$\displaystyle h(x)=-f^{\prime}(6)(x-6)-f(6)=-(12+p)(x-6)-(36+6p+q)$,$\displaystyle h(0)=6(12+p)-(36+6p+q)=36-q=q$, 즉, $\displaystyle q=18$이다.

한편, 이차 방정식의 근과 계수의 관계로부터 $\displaystyle p=-(\alpha+\beta)$, $\displaystyle 18=q=\alpha\beta$이다.따라서 $\displaystyle p=-\left(\alpha+\frac{18}{\alpha}\right)$이고 $\displaystyle \alpha^2<\alpha\beta=18$이므로 $\displaystyle 0<\alpha<3\sqrt{2}$이다.또한 $\displaystyle f(6)<0$이므로 $\displaystyle 0<\alpha<6<\beta$이고 구간 $\displaystyle [0,\alpha)$에서 $\displaystyle |f(x)|=f(x)>0$$\displaystyle \int_0^\alpha|f(x)|=\int_0^\alpha f(x)\,dx=\Biggl[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}px^2+qx\Biggr]_0^\alpha=\frac{1}{3}\alpha^3+\frac{1}{2}p\alpha^2+q\alpha=\frac{50}{3}$ …… ㉠Correction. 첫 번째 적분에서 $\displaystyle |f(x)|$ 뒤에 $\displaystyle dx$가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.㉠의 양변에 $\displaystyle 6$을 곱하면 $\displaystyle 2\alpha^3+3p\alpha^2+6q\alpha=100$이고,$\displaystyle q=18$, $\displaystyle p=-\left(\alpha+\frac{18}{\alpha}\right)$이므로 $\displaystyle 2\alpha^3-3\alpha^2\left(\alpha+\frac{18}{\alpha}\right)+108\alpha=100$이다.이를 정리하면 $\displaystyle \alpha^3-54\alpha+100=0$이다. 이 식을 만족하는 $\displaystyle \alpha$의 값은 $\displaystyle 2,-1-\sqrt{51},-1+\sqrt{51}$이다.그런데 $\displaystyle -1-\sqrt{51}<0$, $\displaystyle -1+\sqrt{51}>3\sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \alpha=2$이다. 그러므로 $\displaystyle \alpha=2$, $\displaystyle \beta=9$이고 $\displaystyle p=-(2+9)=-11$이다. $\displaystyle f(x)=x^2-11x+18$이므로 $\displaystyle f(10)=8$이다.답 : $\displaystyle 8$

3. 함수 $\displaystyle P(x)$를 $\displaystyle P(x)=e^{-x}\cos x$라 하면 $\displaystyle P^{\prime}(x)=-e^{-x}(\cos x+\sin x)$$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}$의 범위에서 $\displaystyle P^{\prime}(x)=0$에 대하여 $\displaystyle \cos x+\sin x=\cos x(1+\tan x)=0$이고, $\displaystyle \tan x=-1$이다.$\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}$일 때 $\displaystyle \tan x=-1$이므로 함수 $\displaystyle P(x)$는 $\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}$에서 극솟값을 갖고 $\displaystyle P\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-\pi}$이다. 그러므로 함수 $\displaystyle g(x)=|P(x)|$는 $\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}$에서 극댓값을 갖고 $\displaystyle g\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-\pi}$이다.

$\displaystyle \frac{3\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{2}$라 하면, 함수 $\displaystyle g(x)=|P(x)|$는 $\displaystyle x=\frac{7\pi}{4}$에서 극댓값을 갖고$\displaystyle g\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-2\pi}<g\left(\frac{3\pi}{4}\right)$이므로 $\displaystyle b_1=g\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-\pi}$이다.$\displaystyle \frac{5\pi}{2}<x<\frac{7\pi}{2}$라 하면, 함수 $\displaystyle g(x)=|P(x)|$는 $\displaystyle x=\frac{11\pi}{4}$에서 극댓값을 갖고$\displaystyle g\left(\frac{11\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-3\pi}<g\left(\frac{7\pi}{4}\right)$이므로 $\displaystyle b_2=g\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-2\pi}$이다.함수 $\displaystyle y=\tan x$가 주기 $\displaystyle \pi$인 주기함수이므로 수열 $\displaystyle \{b_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}e^{-\pi}$이고 공비가 $\displaystyle e^{-\pi}$인 등비수열이다. $\displaystyle 0<e^{-\pi}<1$이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}}\times\frac{e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}=\frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}(e^{\pi}-1)}$이다.답 : $\displaystyle \frac{e^{\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}(e^{\pi}-1)}$