자연계열 1-1번

$\displaystyle \frac{a}{3}(a-c)^{3}+\frac{b}{2}(a-c)^{2}+c(a-c)=n$이라 하면 (단, $\displaystyle n$은 자연수),Correction. 문제의 마지막 항은 $\displaystyle a-c$인데, 예시답안에서는 $\displaystyle c(a-c)$로 계산했다. 두 식의 자연수 여부는 같으므로 경우의 수에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle n$은 자연수이므로 $\displaystyle a>c$가 성립해야 한다.양변에 $\displaystyle 6$을 곱하면, $\displaystyle 2a(a-c)^{3}+3b(a-c)^{2}+6c(a-c)=6n$인데 양변을 각각 $\displaystyle 2$와 $\displaystyle 3$으로 나눌 수 있어야 하므로 다음의 (A)와 (B)가 참이어야 한다.(A): $\displaystyle b(a-c)^{2}$은 $\displaystyle 2$의 배수.(B): $\displaystyle a(a-c)^{3}$은 $\displaystyle 3$의 배수.다음과 같이 (A)를 (A1), (A2) 그리고 (B)를 (B1), (B2)로 나누어 생각하자.(A1): $\displaystyle b$가 $\displaystyle 2$의 배수, 즉 $\displaystyle b=2,4,6$.(A2): $\displaystyle b$가 $\displaystyle 2$의 배수는 아니고 $\displaystyle (a-c)$가 $\displaystyle 2$의 배수, 즉$\displaystyle (a,b,c)=(6,5,2),(6,3,2),(5,5,1),(5,3,1),(5,1,1),(6,5,4),(5,5,3),(5,3,3),(4,3,2),(3,3,1),(3,1,1)$.(B1): $\displaystyle a$가 $\displaystyle 3$의 배수, 즉 $\displaystyle a=3,6$.(B2): $\displaystyle a$가 $\displaystyle 3$의 배수는 아니고 $\displaystyle (a-c)$가 $\displaystyle 3$의 배수, 즉$\displaystyle (a,b,c)=(5,5,2),(5,4,2),(5,3,2),(5,2,2),(4,4,1),(4,3,1),(4,2,1),(4,1,1)$.이제 (A)이고 (B)인 경우는 다음의 $\displaystyle 4$가지 종류로 나누어 셀 수 있다.(A1)이고 (B1):$\displaystyle (a,b,c)=(3,2,2),(3,2,1),(6,6,5),(6,6,4),(6,6,3),(6,6,2),(6,6,1),(6,4,4),(6,4,3),(6,4,2),(6,4,1),(6,2,2),(6,2,1)$.(A1)이고 (B2): $\displaystyle (a,b,c)=(5,4,2),(5,2,2),(4,4,1),(4,2,1)$.(A2)이고 (B1): $\displaystyle (a,b,c)=(6,5,2),(6,3,2),(6,5,4),(3,3,1),(3,1,1)$.(A2)이고 (B2): 없음.

따라서 묻고 있는 경우의 수는 $\displaystyle 13+4+5=22$.