자연계열 1-3번

한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt[4]{n}$인 정육각형으로 만들 수 있는 모든 삼각형의 개수는 총 $\displaystyle 6$개의 꼭짓점에서 세 개의 꼭짓점을 고르는 경우의 수와 같고, 이는 $\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{3}=\frac{6!}{3!3!}=20$이다. 이 삼각형들은 그 모양에 따라 다음의 세 가지로 구분할 수 있고 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.

종류 ①의 삼각형(그림의 $\displaystyle 1$번 삼각형)은 한 꼭짓점과 그 꼭짓점에 인접한 두 개의 꼭짓점을 연결하여 만들 수 있고, 한 꼭짓점마다 한 개를 만들 수 있으므로 총 $\displaystyle 6$개를 만들 수 있다. 종류 ②의 삼각형(그림의 $\displaystyle 2$번 삼각형)은 한 꼭짓점과 그 꼭짓점에 반대편에 위치한 꼭짓점 및 그 꼭짓점의 인접한 두 개의 꼭짓점 중 하나를 선택하고 연결하여 만들 수 있고, 한 꼭짓점마다 두 개를 만들 수 있으므로 총 $\displaystyle 12$개를 만들 수 있다. 마지막으로 종류 ③의 정삼각형(그림의 $\displaystyle 3$번 삼각형)은 한 꼭짓점에서 이웃한 꼭짓점을 한 번 건너뛴 후 그 다음 꼭짓점을 선택하는 식으로 만들 수 있으며, 총 $\displaystyle 2$개를 만들 수 있다.

한편 종류에 따른 삼각형의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다. 종류 ①의 삼각형은 두 변의 길이가 $\displaystyle a,b$이고 그 끼인각 $\displaystyle \theta$를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식인 $\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\sin\theta$를 이용하며, 이를 이용해 삼각형의 넓이는 $\displaystyle S=\frac{1}{2}\times\sqrt[4]{n}\times\sqrt[4]{n}\times\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\times\sqrt{n}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{n}$임을 알 수 있다. 종류 ②의 삼각형은 한 변의 길이와 빗변의 길이를 이용해 두 변 사이의 끼인각이 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt[4]{n}}{2\sqrt[4]{n}}=\frac{1}{2}$, 즉 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$임을 알 수 있으며, 이를 이용해 삼각형의 넓이는 $\displaystyle S=\frac{1}{2}\times\sqrt[4]{n}\times2\sqrt[4]{n}\times\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\times2\sqrt{n}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{n}$임을 알 수 있다. 종류 ③의 정삼각형은 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt{3}\sqrt[4]{n}=\sqrt[4]{9n}$인 정삼각형의 넓이를 구하는 것과 같고, 이는 한 변의 길이가 $\displaystyle a$일 때 정삼각형의 넓이를 구하는 공식인 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$을 이용하여 삼각형의 넓이가 $\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times(\sqrt[4]{9n})^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\sqrt{n}$임을 알 수 있다.

이에 따라 삼각형의 종류가 ①과 ③일 때는 $\displaystyle n$이 어떤 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle n=48\times k^{2}$로 표현될 경우, ②일 때는 $\displaystyle n$이 어떤 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle n=12\times k^{2}$로 표현될 경우 $\displaystyle S$가 정수가 됨을 알 수 있다. $\displaystyle 48$과 자연수의 거듭제곱의 곱 중 $\displaystyle 2025$보다 작은 자연수의 개수는 $\displaystyle 48\times6^{2}=1728,48\times7^{2}=2352$이므로 $\displaystyle 6$개이고, $\displaystyle 12$와 자연수의 거듭제곱의 곱 중 $\displaystyle 2025$보다 작은 자연수의 개수는 $\displaystyle 12\times12^{2}=1728,12\times13^{2}=2028$이므로 $\displaystyle 12$개이다.

따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{2025}a_{n}=(6+2)\times6+12\times12=192$이다.