자연계열 1-2번

선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$은 직선 $\displaystyle x+3y-6=0$위에 있으므로, $\displaystyle d=\frac{|p+3-6|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\frac{|p-3|}{\sqrt{10}}$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{Q}(x_{1},y_{1}),\ \mathrm{R}(x_{2},y_{2})$ 사이의 거리는$\displaystyle l=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+\left(\left(-\frac{1}{3}x_{1}+2\right)-\left(-\frac{1}{3}x_{2}+2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}(x_{1}-x_{2})^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{3}|x_{1}-x_{2}|$원 O와 직선 $\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+2$이 만나는 두 점 Q, R을 구하자.원 O의 방정식은 $\displaystyle (x-p)^{2}+(y-1)^{2}=1$이므로$\displaystyle \begin{aligned}&(x-p)^{2}+\left(-\frac{1}{3}x+2-1\right)^{2}=1\quad\Rightarrow\quad(x-p)^{2}+\left(-\frac{1}{3}x+1\right)^{2}=1\\&\Rightarrow\quad9(x-p)^{2}+x^{2}-6x=0\quad\Rightarrow\quad10x^{2}-6(3p+1)x+9p^{2}=0\end{aligned}$이다. 두 근 사이의 거리는 $\displaystyle |x_{1}-x_{2}|=\frac{1}{5}\sqrt{-9p^{2}+54p+9}$이고, $\displaystyle l=\frac{\sqrt{10}}{15}\sqrt{-9p^{2}+54p+9}$이다.

따라서, $\displaystyle S=\frac{1}{30}|p-3|\sqrt{-9p^{2}+54p+9}$이다.$\displaystyle S^{2}$가 최대일 때 $\displaystyle S$가 최대이므로,$\displaystyle V(x)=\frac{1}{30^{2}}(x-3)^{2}(-9x^{2}+54x+9)$가 $\displaystyle 0<x<3$에서 최대가 되는 점을 구하면 된다.$\displaystyle \begin{aligned}V^{\prime}(x)&=\frac{1}{30^{2}}\left(2(x-3)(-9x^{2}+54x+9)+(x-3)^{2}(-18x+54)\right)\\&=\frac{18(x-3)}{30^{2}}\left((-x^{2}+6x+1)-(x-3)^{2}\right)\\&=\frac{18(x-3)}{30^{2}}(-2x^{2}+12x-8)\\&=-\frac{36(x-3)}{30^{2}}(x^{2}-6x+4)\end{aligned}$이므로, $\displaystyle V(x)$는 $\displaystyle x=3-\sqrt{5},\ 3,\ 3+\sqrt{5}$에서 극값을 가지고, $\displaystyle x=3-\sqrt{5},\ 3+\sqrt{5}$에서 극댓값, $\displaystyle x=3$에서 극솟값을 갖는다.그러므로 $\displaystyle V(x)$는 $\displaystyle 0<x<3$에서 $\displaystyle x=3-\sqrt{5}$일 때 최댓값을 갖고, 마찬가지로 $\displaystyle S$는 $\displaystyle p=3-\sqrt{5}$일 때 최댓값을 갖는다.이때 $\displaystyle S=\frac{1}{30}|p-3|\sqrt{-9p^{2}+54p+9}=\frac{1}{30}|p-3|\sqrt{-9(p^{2}-6p+4)+45}=\frac{1}{30}\sqrt{5}\sqrt{45}=\frac{1}{2}$이다.