자연계열 2-3번

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=3x^{2}-2x=x(3x-2)$이므로 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극대가 되며 극댓값은 $\displaystyle f^{\prime}(0)=k$이고, $\displaystyle x=2/3$에서 극소가 되며 극솟값은 $\displaystyle f^{\prime}(2/3)=-4/27+k$이다. 그러므로 함수 $\displaystyle y=f^{\prime}(x)$의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

이로부터 $\displaystyle f^{\prime}(0)=k<0$ 또는 $\displaystyle f^{\prime}(2/3)=-4/27+k>0$일 경우 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$은 오직 $\displaystyle 1$개의 근만을 가지며 이 점에서 함수 $\displaystyle f(x)$가 극소임을 알 수 있고, $\displaystyle f^{\prime}(0)=k=0$ 또는 $\displaystyle f^{\prime}(2/3)=-4/27+k=0$인 경우 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$은 서로 다른 $\displaystyle 2$개의 근을 가지는데 이 중 한 근은 함수 $\displaystyle f(x)$의 극값이 아니지만 나머지 한 점에서 $\displaystyle f(x)$가 극소임을 알 수 있으며, $\displaystyle f^{\prime}(0)>0>f^{\prime}(2/3)$, 즉 $\displaystyle 0<k<4/27$인 경우 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$은 서로 다른 세 실근을 가지며 이 중 두 점에서는 함수 $\displaystyle f(x)$가 극소, 나머지 한 점에서는 극대임을 확인할 수 있다.

그러므로 각각의 경우에 대해 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 개형을 확인하면 $\displaystyle 0<k<4/27$인 경우는 직선 $\displaystyle y=t$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 교점이 $\displaystyle 0$개에서 최대 $\displaystyle 4$개까지 생길 수 있음을 알 수 있다. $\displaystyle k<0$ 또는 $\displaystyle k>4/27$인 경우는 직선 $\displaystyle y=t$와 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 교점이 $\displaystyle 0$개에서 최대 $\displaystyle 2$개까지 생기거나, 오직 $\displaystyle 1$개의 $\displaystyle t$에 대해서만 교점이 $\displaystyle 1$개가 생기므로, 이 경우 함수 $\displaystyle g(t)$는 오직 한 점에서만 연속이 아님을 알 수 있다. 마지막으로 $\displaystyle k=0$ 또는 $\displaystyle k=4/27$인 경우는 $\displaystyle k<0$ 또는 $\displaystyle k>4/27$인 경우와 같음을 알 수 있다. 그러므로 $\displaystyle k\le0$ 또는 $\displaystyle k\ge4/27$이면 함수 $\displaystyle g(t)$는 연속이 아닌 점을 오직 $\displaystyle 1$개만 갖는다.