자연계열 2-1번

삼각형 PQR은 정삼각형이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{DP}}=\overline{\mathrm{EQ}}=\overline{\mathrm{GR}}=t$ (단, $\displaystyle 0\le t\le1$)라 하면, 오른쪽 그림에서 정삼각형 PQR의 한 변의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{(1-t)^{2}+\left(\sqrt{1+t^{2}}\right)^{2}}=\sqrt{2-2t+2t^{2}}$이고,따라서 정삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{2-2t+2t^{2}}\right)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t+t^{2})$이다.

삼각형 PQR의 평면 EFGH 위로의 정사영의 넓이는 오른쪽 두 번째 그림에서$\displaystyle 1\times1-\left\{\frac{1}{2}\times1\times t+\frac{1}{2}\times(1-t)\times t+\frac{1}{2}(1-t)\times1\right\}=\frac{1}{2}(1-t+t^{2})$이다.

따라서 평면 PQR과 평면 EFGH가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{\text{정사영의 넓이}}{\text{삼각형 PQR의 넓이}}=\frac{\frac{1}{2}(1-t+t^{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t+t^{2})}=\frac{1}{\sqrt{3}}$이고, 이는 상수이므로 두 평면이 이루는 각은 일정함을 알 수 있다.