상경계열 2번

1. 조건 (가)에서 $\displaystyle f(-2)=0$이므로, $\displaystyle f(-2)=-8+4a-2b+c=0$이다. 따라서 $\displaystyle c=-4a+2b+8$.조건 (가)에서 극한값을 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to-2}\frac{f(x)}{x^{3}+8}&=\lim_{x\to-2}\frac{(x+2)[x^{2}+(a-2)x-2a+b+4]}{(x+2)(x^{2}-2x+4)}\\&=\lim_{x\to-2}\frac{x^{2}+(a-2)x-2a+b+4}{x^{2}-2x+4}\\&=\frac{-4a+b+12}{12}=\frac{1}{3}\end{aligned}$이다. 그러므로, $\displaystyle b=4a-8$이다.

조건 (나)를 생각하면, $\displaystyle x^{2}+(a-2)x+2a-4=0$은 허근을 갖는다. 따라서 판별식은$\displaystyle D=(a-2)^{2}-4(2a-4)=a^{2}-12a+20<0$이다. 위의 부등식으로부터 $\displaystyle 2<a<10$을 만족하는 정수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 3,4,5,6,7,8,9$이다.$\displaystyle b=4a-8$이므로 $\displaystyle c=-4a+2b+8=4a-8$이다. 따라서 $\displaystyle b=c$이고,정수 $\displaystyle b,c$는 $\displaystyle 4,8,12,16,20,24,28$이다.답: $\displaystyle (a,b,c)=(3,4,4),(4,8,8),(5,12,12),(6,16,16),(7,20,20),(8,24,24),(9,28,28)$

2. 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 $\displaystyle r_{n}$, 높이를 $\displaystyle h_{n}$이라 하면 $\displaystyle r_{n}^{2}+\left(\frac{h_{n}}{2}\right)^{2}=n^{2}$이다.원기둥의 부피를 $\displaystyle V(h_{n})$이라 하면, $\displaystyle V(h_{n})=\pi r_{n}^{2}h_{n}=\pi\left(n^{2}-\frac{h_{n}^{2}}{4}\right)h_{n}=-\frac{1}{4}\pi h_{n}^{3}+\pi n^{2}h_{n}$이다.

$\displaystyle V^{\prime}(h_{n})=-\frac{3}{4}\pi h_{n}^{2}+\pi n^{2}=-\frac{3}{4}\pi\left(h_{n}+\frac{2\sqrt{3}}{3}n\right)\left(h_{n}-\frac{2\sqrt{3}}{3}n\right)$이므로, $\displaystyle 0<h_{n}<2n$일 때 $\displaystyle V^{\prime}(h_{n})=0$에서 $\displaystyle h_{n}=\frac{2\sqrt{3}}{3}n$을 얻는다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c}h_{n}&0&\cdots&\frac{2\sqrt{3}}{3}n&\cdots&2n\\\hline V^{\prime}(h_{n})&&+&0&-&\\\hline V(h_{n})&&\nearrow&\text{극대}&\searrow&\end{array}$$\displaystyle V(h_{n})$는 $\displaystyle h_{n}=\frac{2\sqrt{3}}{3}n$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{4\sqrt{3}\pi}{9}n^{3}$을 가지므로 $\displaystyle V_{n}=\frac{4\sqrt{3}\pi}{9}n^{3}$이다.

식 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^{2}$을 이용하면, $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}V_{n}=\frac{4\sqrt{3}\pi}{9}\sum_{k=1}^{10}k^{3}=\frac{12100\sqrt{3}\pi}{9}$이다.답: $\displaystyle \frac{12100\sqrt{3}\pi}{9}$

3. $\displaystyle f(x)$가 확률밀도함수이므로 함수 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle 1$이다. 조건 (가)로부터 $\displaystyle \int_{5}^{9}f(x)\,dx$의 값(사다리꼴의 넓이)이 $\displaystyle \int_{2}^{5}f(x)\,dx$의 값(삼각형의 넓이)의 절반임을 알 수 있다.Correction. 이 문장의 ‘x축로’는 ‘x축으로’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로, 사다리꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac{(4+2)b}{2}=\frac{1}{3}$이고, $\displaystyle b=\frac{1}{9}$이다.조건 (나)에서, 확률변수 $\displaystyle W$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(8,\frac{1}{2}\right)$를 따르고 $\displaystyle W$의 확률질량함수는$\displaystyle \mathrm{P}(W=w)={}_{8}\mathrm{C}_{w}\left(\frac{1}{2}\right)^{8},\ w=0,1,2,\cdots,8$이다. $\displaystyle W$의 확률분포는 좌우대칭의 모양을 나타내고 $\displaystyle \mathrm{P}(W=w)$의 값은$\displaystyle w=4$일 때 최대가 된다. 즉, $\displaystyle a=4$이고 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{3c}{2}=\frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle c=\frac{4}{9}$이다.

$\displaystyle \mathrm{P}(a\le X\le a+3)=\mathrm{P}(4\le X\le7)$는 함수 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=4,\ x=7$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. 즉, 밑변이 $\displaystyle 1$, 높이가 $\displaystyle \frac{4}{9}$인 삼각형의 넓이와 윗변이 $\displaystyle 2$, 밑변이 $\displaystyle 4$, 높이가 $\displaystyle \frac{1}{9}$인 사다리꼴의 넓이의 절반을 더하면 된다. 이 삼각형의 넓이는 $\displaystyle 1\times\frac{4}{9}\times\frac{1}{2}=\frac{2}{9}$이고 사다리꼴의 넓이의 절반은 $\displaystyle \frac{1}{6}$이므로, 구하고자 하는 확률$\displaystyle \mathrm{P}(a\le X\le a+3)$의 값은 $\displaystyle \mathrm{P}(4\le X\le7)=\frac{7}{18}$이다.답: $\displaystyle \mathrm{P}(4\le X\le7)=\frac{7}{18}$