자연계열 1번

1. $\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-x-6$이라 하면 $\displaystyle g(x)=f(x-m)+n$이다.모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle g(-x)=-g(x)$이므로, 정리하면 $\displaystyle 3(m-1)x^2+m^3-3m^2-m+6-n=0$이다. 이로부터 $\displaystyle m=1$, $\displaystyle n=3$이다.

이때, $\displaystyle g(x)=x^3-4x$이므로, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$의 교점은 $\displaystyle (1,-3)$, $\displaystyle (-2,0)$이다. 따라서 구하는 도형의 넓이는

$\displaystyle \int_{-2}^1|g(x)-f(x)|\,dx=-3\int_{-2}^1(x^2+x-2)\,dx=-3\Biggl[\frac13x^3+\frac12x^2-2x\Biggr]_{-2}^1=\frac{27}2$이다.

2. 점 R에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 PBQ와 삼각형 QHR은 합동이다.Caution. 삼각형을 다룰 때는 세 꼭짓점이 서로 다르고 한 직선 위에 놓이지 않는지 확인해야 한다: $\displaystyle x=0$이면 P=B, Q=H가 되어 두 보조삼각형을 그대로 사용할 수 없다. 이 경우는 직접 계산해도 삼각형 PQR의 넓이가 $\displaystyle \frac{72}{49}$로 같은 식을 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \overline{\mathrm{HR}}=\overline{\mathrm{BQ}}=a$라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{HC}}=4-(x+a)$이고, $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{RH}}}{\overline{\mathrm{HC}}}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{BC}}}=\frac34$로부터 $\displaystyle \frac{a}{4-(x+a)}=\frac34$이고, 따라서 $\displaystyle a=\frac{12-3x}7$이다. 이로부터

$\displaystyle \begin{aligned}\text{삼각형 PQR의 넓이}&=\text{사다리꼴 PBHR의 넓이}\\&\quad-\text{(삼각형 PBQ의 넓이 + 삼각형 QHR의 넓이)}\\&=\frac12\left(x+\frac{12-3x}7\right)^2-2\times\frac12x\times\frac{12-3x}7\\&=\frac1{49}(29x^2-36x+72)\end{aligned}$

이고, $\displaystyle 0\le x\le3$이므로, $\displaystyle \frac1{49}(29x^2-36x+72)=\frac{29}{49}\left(x-\frac{18}{29}\right)^2+\frac{36}{29}$는 $\displaystyle x=\frac{18}{29}$일 때, 넓이의 최솟값 $\displaystyle \frac{36}{29}$을 갖는다. 따라서 구하는 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle \frac{18}{29}$이다.

3. 두 정삼각형의 넓이의 비 $\displaystyle r$을 구하는 것이므로 정삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1$의 한 변의 길이를 $\displaystyle 1$이라 가정해도 좋다. 그러면 $\displaystyle s_1=\frac{\sqrt3}4$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}=1$, $\displaystyle \overline{\mathrm{B}_1\mathrm{B}_1^{\prime}}=t$이다. 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1^{\prime}}^2=1^2+t^2-2\times1\times t\times cos\left(\frac\pi3\right)$이고, 정리하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1^{\prime}}=\sqrt{1-t+t^2}$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{B}_1^{\prime}$과 $\displaystyle \mathrm{B}_1\mathrm{B}_2\mathrm{B}_1^{\prime}$은 닮은 삼각형이므로,$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2}}{\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{B}_1^{\prime}}}=\frac{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}}{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1^{\prime}}}$, 즉 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2}}t=\frac1{\sqrt{1-t+t^2}}$이고 정리하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2}=\frac{t}{\sqrt{1-t+t^2}}$.$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}_1^{\prime}\mathrm{B}_2}}{\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{B}_1^{\prime}}}=\frac{\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{B}_1^{\prime}}}{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1^{\prime}}}$, 즉 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{B}_1^{\prime}\mathrm{B}_2}}t=\frac{t}{\sqrt{1-t+t^2}}$이고 정리하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}_1^{\prime}\mathrm{B}_2}=\frac{t^2}{\sqrt{1-t+t^2}}$.삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{A}_1^{\prime}\mathrm{A}_2^{\prime}$과 $\displaystyle \mathrm{B}_1\mathrm{B}_1^{\prime}\mathrm{B}_2$는 합동이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2}=\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{B}_2}=\frac{t}{\sqrt{1-t+t^2}}$이고Correction. 삼각형의 꼭짓점 $\displaystyle A_2^{\prime}$는 $\displaystyle A_2$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2}&=\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1^{\prime}}-\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2}-\overline{\mathrm{B}_2\mathrm{B}_1^{\prime}}\\&=\sqrt{1-t+t^2}-\frac{t}{\sqrt{1-t+t^2}}-\frac{t^2}{\sqrt{1-t+t^2}}=\frac{1-2t}{\sqrt{1-t+t^2}}\end{aligned}$이다.$\displaystyle s_2=\frac{\sqrt3}4\left(\frac{1-2t}{\sqrt{1-t+t^2}}\right)^2=\frac{(1-2t)^2}{1-t+t^2}\times\frac{\sqrt3}4=\frac{(1-2t)^2}{1-t+t^2}s_1$이므로 구하는 $\displaystyle r$은 $\displaystyle \frac{(1-2t)^2}{t^2-t+1}$이다.

모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle s_{n+1}=rs_n$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}s_n$은 공비가 $\displaystyle r$인 등비급수이고, ($\displaystyle 0<t<\frac12$일 때, $\displaystyle 0<r<1$임을 확인할 수 있다)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}s_n=\frac{s_1}{1-r}=\frac{1-t+t^2}{3t(1-t)}s_1=3s_1$을 만족시키는 $\displaystyle t$의 값은 $\displaystyle \frac{5-\sqrt{15}}{10}=\frac12-\frac{\sqrt{15}}{10}$이다.