자연계열 (오후1) 1번

1. $\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2(2x^3+3ax^2+bx)\,dx&=\Biggl[\frac12x^4+ax^3+\frac12bx^2\Biggr]_1^2\\&=\frac12(2^4-1^4)+a(2^3-1^3)+\frac12b(2^2-1^2)=7a+\frac{3b+15}2\end{aligned}$이다.$\displaystyle a=1$인 경우, $\displaystyle 13\le\frac{3b+15}2\le23$을 만족할 필요충분조건은 $\displaystyle 11\le3b\le31$이므로 $\displaystyle b\in\{4,5\}$일 때 부등식을 만족한다.$\displaystyle a=2$인 경우, $\displaystyle 6\le\frac{3b+15}2\le16$을 만족할 필요충분조건은 $\displaystyle -3\le3b\le17$이므로 $\displaystyle b\in\{1,2,3,4,5\}$일 때 부등식을 만족한다.$\displaystyle a=3$인 경우, $\displaystyle -1\le\frac{3b+15}2\le9$을 만족할 필요충분조건은 $\displaystyle -17\le3b\le3$이므로 $\displaystyle b\in\{1\}$일 때 부등식을 만족한다.$\displaystyle a=4$인 경우 $\displaystyle 28+\frac{3b+15}2>30$이므로 주어진 부등식을 만족하지 않는다.$\displaystyle a=5$인 경우 $\displaystyle 35+\frac{3b+15}2>30$이므로 주어진 부등식을 만족하지 않는다.그러므로 부등식을 만족하는 경우는 $\displaystyle 8$가지이다.

2. 주어진 도로망을 오른쪽 그림과 같이 좌표평면에 놓는 것을 고려하자.

방향이 바뀌는 지점이 정확히 $\displaystyle 4$번일 때를 고려하자. 처음 오른쪽으로 움직이기 시작하면 오른쪽에서 위쪽으로 방향이 바뀌는 지점이 두 번 생기며 이 지점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 0,n$을 제외한 서로 다른 두 수이다. 또한 위쪽에서 오른쪽으로 방향이 바뀌는 지점은 두 번 생기며, 이 지점의 $\displaystyle y$좌표는 하나는 $\displaystyle n$이고 다른 하나는 $\displaystyle 0,n$을 제외한 수이다.그러므로 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n-1}\mathrm{C}_2\times{}_{n-1}\mathrm{C}_1=\frac{(n-1)^2(n-2)}2$이다. 위쪽으로 움직이기 시작하는 경우의 수도 대칭으로 같으므로 방향이 바뀌는 지점이 정확히 $\displaystyle 4$번인 총 경우의 수는 $\displaystyle f(n)=(n-1)^2(n-2)$이다.방향이 바뀌는 지점이 정확히 $\displaystyle 7$번일 때를 고려하자. 처음 오른쪽으로 움직이기 시작하면 오른쪽에서 위쪽으로 방향이 바뀌는 지점이 세 번 생기며 이 지점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 0,n$을 제외한 서로 다른 세 수이다.Comment. 오른쪽에서 위쪽으로 방향이 바뀌는 지점은 네 곳이다. 그중 $\displaystyle x=n$인 한 곳을 제외한 세 곳의 $\displaystyle x$좌표를 고른다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.또한 위쪽에서 오른쪽으로 방향이 바뀌는 지점도 세 번 생기며, 이 지점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle 0,n$을 제외한 서로 다른 세 수이다. 그러므로 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n-1}\mathrm{C}_3\times{}_{n-1}\mathrm{C}_3=\frac{(n-1)^2(n-2)^2(n-3)^2}{36}$이다. 위쪽으로 움직이기 시작하는 경우의 수도 대칭으로 같으므로 방향이 바뀌는 지점이 정확히 $\displaystyle 7$번인 총 경우의 수는 $\displaystyle g(n)=\frac{(n-1)^2(n-2)^2(n-3)^2}{18}$이다.$\displaystyle f(6)=(6-1)^2(6-2)=100$이고,$\displaystyle \sqrt{2\times g(32)}=\sqrt{2\times\frac{(32-1)^2(32-2)^2(32-3)^2}{18}}=\frac{31\times30\times29}3=8990$이다.

3. $\displaystyle a_1=0$, $\displaystyle a_2=3$, $\displaystyle a_3=5$, $\displaystyle a_4=\frac{19}3$, $\displaystyle a_5=\frac{65}9$이다. 구간 $\displaystyle [a_1,a_2)$와 $\displaystyle [a_2,a_3)$를 살펴보자.$\displaystyle g(x)=ax(x-x_0)(x-3)$이라 하자.함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle 0\le x<3$에서 $\displaystyle f(x)=ax(x-x_0)(x-3)$이고 $\displaystyle 3\le x<5$에서$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\frac23f\left(\frac32(x-5)+3\right)=\frac23f\left(\frac32(x-3)\right)\\&=\frac23\times a\times\frac32(x-3)\left(\frac32(x-3)-x_0\right)\left(\frac32(x-3)-3\right)\\&=\frac{3a}4(x-3)(3x-9-2x_0)(x-5)\end{aligned}$이다. $\displaystyle f$가 닫힌구간 $\displaystyle [a_1,a_5]$에서 연속이려면 $\displaystyle \lim_{x\to3^-}f(x)=f(3)$이고, 열린구간 $\displaystyle (a_1,a_5)$에서 미분가능하려면 $\displaystyle \lim_{x\to3^-}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\to3^+}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$이어야 한다. 위 식에서 $\displaystyle \lim_{x\to3^-}f(x)=f(3)=0$은 확인할 수 있다.$\displaystyle \lim_{x\to3^-}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\to3^-}ax(x-x_0)=3a(3-x_0)$,$\displaystyle \lim_{x\to3^+}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\lim_{x\to3^+}\frac{3a}4(3x-9-2x_0)(x-5)=3ax_0$이므로 $\displaystyle x_0=\frac32$이고, $\displaystyle g^{\prime}(0)g^{\prime}(3)=9$와 $\displaystyle g^{\prime}(0)>0$를 이용하면 $\displaystyle a=\frac23$이다. 다시 정리하면,$\displaystyle 0\le x<3$에서 $\displaystyle f(x)=\frac23x\left(x-\frac32\right)(x-3)$이고, $\displaystyle 3\le x<5$에서 $\displaystyle f(x)=\frac32(x-3)(x-4)(x-5)$가 된다.이와 같은 방법으로 $\displaystyle x=a_3$, $\displaystyle x=a_4$에서 함수 $\displaystyle f(x)$가 연속이고 미분가능함을 확인할 수 있다.$\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a_1,a_5]$에서 연속이므로, $\displaystyle f(a_5)=0$이다.$\displaystyle \int_{a_1}^{a_5}|f(x)|\,dx=\sum_{k=1}^4\int_{a_k}^{a_{k+1}}|f(x)|\,dx$을 구하면 된다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^3\left|\frac23x\left(x-\frac32\right)(x-3)\right|\,dx&=\frac43\int_0^{\frac32}x\left(x-\frac32\right)(x-3)\,dx=\frac43\int_0^{\frac32}\left(x^3-\frac92x^2+\frac92x\right)\,dx\\&=\frac43\Biggl[\frac14x^4-\frac32x^3+\frac94x^2\Biggr]_0^{\frac32}=\frac{27}{16}\end{aligned}$$\displaystyle \int_{a_2}^{a_3}|f(x)|\,dx=\int_{a_2}^{a_3}\frac23\left|f\left(\frac32(x-a_3)+3\right)\right|\,dx$를 적분하기 위해서 $\displaystyle y=\frac32(x-a_3)+3$이라 치환하자. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac32$이고, 적분구간을 확인하면 $\displaystyle \frac32(a_3-a_3)+3=3$이고 $\displaystyle \frac32(a_2-a_3)+3=0$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_{a_2}^{a_3}|f(x)|\,dx&=\int_{a_2}^{a_3}\frac23\left|f\left(\frac32(x-a_3)+3\right)\right|\,dx\\&=\int_0^3\frac49|f(y)|\,dy=\frac49\int_0^3|f(x)|\,dx\end{aligned}$이와 같은 과정을 반복하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_{a_3}^{a_4}|f(x)|\,dx&=\int_{a_3}^{a_4}\left(\frac23\right)^2\left|f\left(\left(\frac32\right)^2(x-a_4)+3\right)\right|\,dx\\&=\int_0^3\left(\frac49\right)^2|f(y)|\,dy=\left(\frac49\right)^2\int_0^3|f(x)|\,dx\\\int_{a_4}^{a_5}|f(x)|\,dx&=\int_{a_4}^{a_5}\left(\frac23\right)^3\left|f\left(\left(\frac32\right)^3(x-a_5)+3\right)\right|\,dx\\&=\int_0^3\left(\frac49\right)^3|f(y)|\,dy=\left(\frac49\right)^3\int_0^3|f(x)|\,dx\end{aligned}$를 얻는다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_{a_1}^{a_5}|f(x)|\,dx&=\sum_{k=1}^4\int_{a_k}^{a_{k+1}}|f(x)|\,dx=\int_0^3|f(x)|\,dx\sum_{k=1}^4\left(\frac49\right)^{k-1}=\frac{27}{16}\sum_{k=1}^4\left(\frac49\right)^{k-1}\\&=\frac{27}{16}\times\frac{1-\left(\frac49\right)^4}{1-\frac49}=\frac{27}{16}\times\frac{9^4-4^4}{9^4-4\times9^3}\\&=\frac{3^3(6561-256)}{2^4\times3^6\times5}=\frac{1261}{2^4\times3^3}\\&=\frac{97\times13}{2^4\times3^3}=\frac{1261}{432}\end{aligned}$이다.