자연계열 (오후1) 2번

1. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle \theta$라 하면 $\displaystyle \sin\theta=\frac{n}{n+1}\tan\theta$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{n}{n+1}$이다. 직선 $\displaystyle l_1$, $\displaystyle l_2$의 방정식을 각각 $\displaystyle y=f(x)$, $\displaystyle y=g(x)$라고 하면$\displaystyle f(x)=(\cos\theta)(x-\theta)+\sin\theta$,$\displaystyle g(x)=\frac{n}{n+1}(\sec^2\theta)(x-\theta)+\sin\theta=\sec\theta(x-\theta)+\sin\theta$이다.

그러므로 두 직선 $\displaystyle l_1$, $\displaystyle l_2$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 $\displaystyle S_n$은 $\displaystyle S_n=\frac12\sin\theta\times$(직선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$의 $\displaystyle x$절편 사이의 거리) 임을 알 수 있다.이때, $\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x=\theta-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\displaystyle g(x)=0\Leftrightarrow x=\theta-\sin\theta\,cos\,\theta$이므로$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\frac12\sin^2\theta\times\left(\frac1{\cos\theta}-\cos\theta\right)\\&=\frac12\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)^2\right)\left(\frac{n+1}n-\frac{n}{n+1}\right)=\frac{(2n+1)^2}{2n(n+1)^3}\end{aligned}$이다.따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2S_n=2$이다.

2. 포물선 $\displaystyle y^2=4px$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1)$에서의 접선은 $\displaystyle y_1y=2p(x+x_1)$이므로 이 직선이 직선 $\displaystyle x=-p$와 만나는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(-p,\frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_2$라 하면 주어진 조건에 의하여 $\displaystyle \left(\frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)^2=4px_2$를 만족시키고, $\displaystyle y_1^2=4px_1$이므로 $\displaystyle x_2=\frac{(x_1-p)^2}{4x_1}$을 얻는다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{(x_1-p)^2}{4x_1},\frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)$이다.초점 F의 좌표는 $\displaystyle (p,0)$이므로, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FP}}=(x_1-p,y_1)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FP}^{\prime}}=\left(\frac{(x_1-p)^2}{4x_1}-p,\frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)$이다. 이때 두 벡터가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{FP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FP}^{\prime}}}{|\overrightarrow{\mathrm{FP}}||\overrightarrow{\mathrm{FP}^{\prime}}|}$이다. 직선 $\displaystyle x=-p$는 포물선의 준선이므로 포물선의 성질에 의해$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=$(점 P에서 $\displaystyle x=-p$에 이르는 거리)$\displaystyle =x_1+p$이고 마찬가지로$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{FP}^{\prime}}|=x_2+p=\frac{(x_1-p)^2}{4x_1}+p$이다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FP}^{\prime}}=\frac{(x_1-p)^3}{4x_1}+p(x_1-p)$이므로, $\displaystyle \cos\theta=\frac{x_1-p}{x_1+p}$를 얻는다. $\displaystyle \cos\theta=\frac15$이므로 $\displaystyle x_1=\frac{3p}2$이다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{FP}^{\prime}}=\frac{(x_1-p)^3}{4x_1}+p(x_1-p)$이므로, $\displaystyle \cos\theta=\frac{x_1-p}{x_1+p}$를 얻는다. $\displaystyle \cos\theta=\frac15$이므로 $\displaystyle x_1=\frac{3p}2$이다.

3. 직선 CP와 직선 DQ가 한 점에서 만나므로, 이 두 직선은 하나의 평면을 결정한다.즉, 직선 CD와 직선 PQ는 한 평면 위에 있다. 이 두 직선은 평행한 두 평면 ABCD와 EFGH에 각각 포함되어 있으므로, 직선 CD와 직선 PQ는 평행함을 알 수 있다.또한, 직선 CD는 직선 GH와 평행하므로, 직선 PQ와 직선 GH는 평행하다. 그러므로 점 R에서 평면 EFGH에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}$이라 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}\mathrm{PQ}$와 $\displaystyle \mathrm{R}^{\prime}\mathrm{GH}$는 서로 닮은 삼각형임을 알 수 있다.한편, 직선 $\displaystyle \mathrm{RR}^{\prime}$과 직선 DH는 평행하므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{QRR}^{\prime}$과 삼각형 QDH는 서로 닮은 삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DR}}:\overline{\mathrm{RQ}}=4:3$으로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{HR}^{\prime}}:\overline{\mathrm{R}^{\prime}\mathrm{Q}}=4:3$임을 알 수 있고 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}:\overline{\mathrm{GH}}=3:4$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{GH}}=4$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{FQ}}=3$이고,그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PG}}=\sqrt{\overline{\mathrm{PQ}}^2+\overline{\mathrm{QG}}^2}=\sqrt{10}$이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}}=\sqrt{\overline{\mathrm{PG}}^2+\overline{\mathrm{CG}}^2}=\sqrt{26}$이다.여기서 삼각형 APC를 보면 이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{PC}}=\sqrt{26}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=4\sqrt2$인 이등변삼각형이다.점 P에서 선분 AC에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}^{\prime}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}^{\prime}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AP}}^2-\overline{\mathrm{AH}^{\prime}}^2}=3\sqrt2$이므로 삼각형 APC의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\overline{\mathrm{PH}^{\prime}}\times\overline{\mathrm{AC}}=12$이다.이때 삼각형 APC의 면 EFGH 위로의 정사영은 삼각형 PEG이고 이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PE}}=\overline{\mathrm{PG}}=\sqrt{10}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{EG}}=4\sqrt2$인 이등변삼각형이다. 비슷하게 점 P에서 선분 EG에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}^{\prime\prime}$라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}^{\prime\prime}}=\sqrt{\overline{\mathrm{PE}}^2-\overline{\mathrm{EH}^{\prime\prime}}^2}=\sqrt2$이므로 삼각형 PEG의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\overline{\mathrm{PH}^{\prime\prime}}\times\overline{\mathrm{EG}}=4$이다.따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac4{12}=\frac13$이다.