자연계열 2번

1. 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^x f^{\prime\prime}(t)(x-t)\,dt&=\Biggl[(-t+x)f^{\prime}(t)\Biggr]_0^x+\int_0^x f^{\prime}(t)\,dt\\&=-(-0+x)f^{\prime}(0)+f(x)-f(0)\\&=-f^{\prime}(0)x+f(x)-f(0)\end{aligned}$제시문 <가>의 조건으로부터$\displaystyle f(x)=e^x(3\sin x-\cos x)+2(-f^{\prime}(0)x+f(x)-f(0))+\int_0^{\frac\pi2}e^tf^{\prime\prime}(t)\,dt$이므로$\displaystyle f(x)=-e^x(3\sin x-\cos x)+2f^{\prime}(0)x+2f(0)-\int_0^{\frac\pi2}e^tf^{\prime\prime}(t)\,dt$$\displaystyle a=2f^{\prime}(0)$, $\displaystyle b=2f(0)-\int_0^{\frac\pi2}e^tf^{\prime\prime}(t)\,dt$라 하면$\displaystyle f(x)=-e^x(3\sin x-\cos x)+ax+b$ …… ㉠양변을 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-e^x(4\sin x+2\cos x)+a$ …… ㉡다시 한번 미분하면 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-2e^x(\sin x+3\cos x)$㉠에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle f(0)=1+b$㉡에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle f^{\prime}(0)=-2+a$이므로 $\displaystyle a=2f^{\prime}(0)=-4+2a$따라서 $\displaystyle a=4$

부분적분법을 이용하여 함수 $\displaystyle h(x)=(\sin x+3\cos x)e^{2x}$의 부정적분을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\int h(x)\,dx&=\frac12(\sin x+3\cos x)e^{2x}+\frac12\int(-\cos x+3\sin x)e^{2x}\,dx\\&=\frac12(\sin x+3\cos x)e^{2x}\\&\quad+\frac14\left\{(-\cos x+3\sin x)e^{2x}-\int h(x)\,dx\right\}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \int h(x)\,dx=e^{2x}(\sin x+\cos x)+C$ (단, $\displaystyle C$는 상수) …… ㉢

$\displaystyle e^xf^{\prime\prime}(x)=-2h(x)$이므로 ㉢에 의하여$\displaystyle b=2f(0)+2\int_0^{\frac\pi2}h(t)\,dt=2(1+b)+2(e^\pi-1)=2b+2e^\pi$따라서 $\displaystyle b=-2e^\pi$이고 $\displaystyle f(0)=1-2e^\pi$답: $\displaystyle 1-2e^\pi$

2. 부분적분법을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^x p^{\prime\prime}(t)(3x-5t)\,dt&=\Biggl[(-5t+3x)p^{\prime}(t)\Biggr]_0^x+5\int_0^x p^{\prime}(t)\,dt\\&=-(2p^{\prime}(x)+3p^{\prime}(0))x+5p(x)-5p(0)\end{aligned}$제시문 <나>의 조건 (ㄴ)으로부터$\displaystyle 4p(x)=-4x^4+(2p^{\prime}(x)+3p^{\prime}(0))x+5p(0)-\frac32\int_0^2tp(t)\,dt$ …… ㉠$\displaystyle p(0)=\frac32\int_0^2tp(t)\,dt$제시문 <나>의 조건 (ㄱ)에 의하여 $\displaystyle p(x)$가 사차함수이다.$\displaystyle p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+k$ ($\displaystyle a\ne0$)라 하면$\displaystyle p^{\prime}(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$, $\displaystyle p^{\prime\prime}(x)=12ax^2+6bx+2c$ …… ㉡㉠의 양변을 미분하면$\displaystyle 2p^{\prime}(x)=-16x^3+2p^{\prime\prime}(x)x+3p^{\prime}(0)$ …… ㉢$\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle 2p^{\prime}(0)=3p^{\prime}(0)$이므로 $\displaystyle d=p^{\prime}(0)=0$㉢에 ㉡을 대입하면$\displaystyle \begin{aligned}8ax^3+6bx^2+4cx&=-16x^3+2(12ax^2+6bx+2c)x\\&=(-16+24a)x^3+12bx^2+4cx\end{aligned}$따라서 $\displaystyle 8a=-16+24a$, $\displaystyle 6b=12b$, 즉, $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=0$$\displaystyle p(x)=x^4+cx^2+k$를 $\displaystyle k=\frac32\int_0^2p(t)t\,dt$에 대입하면$\displaystyle k=\frac32\int_0^2(t^5+ct^3+kt)\,dt=\frac32\Biggl[\frac16t^6+\frac c4t^4+\frac k2t^2\Biggr]_0^2=16+6c+3k$이므로 $\displaystyle k=-(3c+8)$정리하면 $\displaystyle p(x)=x^4+cx^2-(3c+8)$ ($\displaystyle c$는 상수)$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^3p(x)\,dx&=\int_0^3(x^4+cx^2-(3c+8))\,dx\\&=\Biggl[\frac15x^5+\frac c3x^3-(3c+8)x\Biggr]_0^3\\&=\frac{243}5+9c-(9c+24)=\frac{243-120}5=\frac{123}5\end{aligned}$답: $\displaystyle \frac{123}5$

3. $\displaystyle p(x)=x^4+cx^2-(3c+8)$에 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle 1$을 대입하면$\displaystyle p(0)=-(3c+8)$, $\displaystyle p(1)=-(2c+7)$제시문 <나>의 조건 (ㄷ)으로부터$\displaystyle -3c-8=p(0)<p(1)=-2c-7$따라서 $\displaystyle c>-1$이고, $\displaystyle 0<x<1$이면$\displaystyle p(0)<p(x)<p(1)=-2c-7<-5<0$ …… ㉠㉠과 제시문 <나>의 조건 (ㄹ), 역함수의 그래프는 직선 $\displaystyle y=x$에 대칭인 성질에 의하여 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축, 직선 $\displaystyle x=1$과 곡선 $\displaystyle y=q(x)=p(x)$ ($\displaystyle 0\le x\le1$)로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac{159}5$이고$\displaystyle \int_0^1p(x)\,dx=-\frac{159}5$한편, $\displaystyle \int_0^1p(x)\,dx=\int_0^1(x^4+cx^2-(3c+8))\,dx=-\frac{39}5-\frac{8c}3$따라서 $\displaystyle \frac{8c}3+\frac{39}5=\frac{159}5$즉, $\displaystyle c=9$이고 $\displaystyle p(x)=x^4+9x^2-35$, $\displaystyle p(1)=-25$답: $\displaystyle -25$