자연계열 (오전) 2번

1. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (s,f(s))$ ($\displaystyle s\ne t$)에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=f^{\prime}(s)(x-s)+f(s)=-\frac{2s}{(s^2+1)^2}(x-s)+\frac1{s^2+1}$이고 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \frac12\left(3s+\frac1s\right)$이다. 이 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{A}(t,f(t))$를 지나므로$\displaystyle \frac1{t^2+1}=-\frac{2s}{(s^2+1)^2}(t-s)+\frac1{s^2+1}$이다. 주어진 조건에 의해 $\displaystyle s\ne t$이므로 위 식을 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}\frac1{t^2+1}=-\frac{2s}{(s^2+1)^2}(t-s)+\frac1{s^2+1}&\Leftrightarrow\frac{2s(t-s)}{(s^2+1)^2}=\frac1{s^2+1}-\frac1{t^2+1}=\frac{(t-s)(t+s)}{(s^2+1)(t^2+1)}\\&\Leftrightarrow\frac{2s}{s^2+1}=\frac{t+s}{t^2+1}\\&\Leftrightarrow s^3+ts^2-(1+2t^2)s+t=0\\&\Leftrightarrow(s-t)(s^2+2ts-1)=0\\&\Leftrightarrow s^2+2ts-1=0\end{aligned}$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle s=-t\pm\sqrt{t^2+1}$이고, 조건 $\displaystyle -\frac1{\sqrt3}<t<\frac1{\sqrt3}$으로부터 $\displaystyle t\ne-t\pm\sqrt{t^2+1}$를 확인할 수 있다. $\displaystyle s=-t+\sqrt{t^2+1}$일 때와 $\displaystyle s=-t-\sqrt{t^2+1}$일 때의 접선의 $\displaystyle x$절편은 각각 $\displaystyle s=-t+2\sqrt{t^2+1}$와 $\displaystyle s=-t-2\sqrt{t^2+1}$이다.Correction. 접선의 $\displaystyle x$절편 앞에 쓴 $\displaystyle s=$는 $\displaystyle x=$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, 삼각형의 넓이 $\displaystyle g(t)$는$\displaystyle g(t)=\frac12\times4\sqrt{t^2+1}\times\frac1{t^2+1}=\frac2{\sqrt{t^2+1}}$ ($\displaystyle -\frac1{\sqrt3}<t<\frac1{\sqrt3}$)이다.답 : $\displaystyle g(t)=\frac2{\sqrt{t^2+1}}$

2. $\displaystyle y=-3x+10n$를 $\displaystyle x^2+y^2=40n^4$에 대입하여 정리하면 $\displaystyle x^2-6nx+10n^2-4n^4=0$이므로, 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n$, $\displaystyle \mathrm{Q}_n$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x=3n\pm\sqrt{9n^2-(10n^2-4n^4)}=3n\pm n\sqrt{4n^2-1}$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n$위의 점 중 $\displaystyle x$좌표가 정수인 점의 개수를 세기 위하여 $\displaystyle n\sqrt{4n^2-1}$가 정수인지 아닌지를 판단해야 한다. $\displaystyle n\sqrt{4n^2-1}<2n^2$임은 자명하다. 또한,$\displaystyle 2n^2-1<n\sqrt{4n^2-1}\Leftrightarrow(2n^2-1)^2<n^2(4n^2-1)\Leftrightarrow4n^4-4n^2+1<4n^4-n^2\Leftrightarrow3n^2>1$이므로$\displaystyle 2n^2-1<n\sqrt{4n^2-1}<2n^2$를 얻는다. 결론적으로, 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n$ 위의 점 중 $\displaystyle x$좌표가 정수인 점의 개수 $\displaystyle T_n$은 $\displaystyle 3n-(2n^2-1)$보다 크거나 같고 $\displaystyle 3n+2n^2-1$보다 작거나 같은 모든 정수의 개수이다. 따라서$\displaystyle T_n=3n+2n^2-1-(3n-2n^2+1)+1=4n^2-1$이다.

수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 첫째항부터 제$\displaystyle n$항까지의 합을 $\displaystyle S_n$이라 두면 주어진 조건에 의해 $\displaystyle S_n=T_n+1=4n^2$이다. $\displaystyle a_1=S_1=4$이고 $\displaystyle n\ge2$일 때 $\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=8n-4$이므로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 일반항은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle a_n=8n-4$이다.답 : $\displaystyle a_n=8n-4$

3. 함수 $\displaystyle g$의 이계도함수 $\displaystyle g^{\prime\prime}$가 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac12\right]$에서 연속이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n g^{\prime\prime}\left(\frac{a_k+4}{16n}\right)=2\lim_{n\to\infty}\frac1{2n}\sum_{k=1}^n g^{\prime\prime}\left(\frac{k}{2n}\right)=2\int_0^{\frac12}g^{\prime\prime}(t)\,dt$이다.

$\displaystyle g^{\prime}(t)=-\frac{2t}{(t^2+1)^{3/2}}$가 함수 $\displaystyle g^{\prime\prime}(t)$의 부정적분이므로$\displaystyle 2\int_0^{\frac12}g^{\prime\prime}(t)\,dt=2\left(g^{\prime}\left(\frac12\right)-g^{\prime}(0)\right)=-\frac{16}{25}\sqrt5$를 얻는다.답 : $\displaystyle -\frac{16}{25}\sqrt5$