자연계열 (오전) 1번

1. $\displaystyle A_n$의 원소의 개수를 $\displaystyle b_n$이라고 할 때, $\displaystyle b_1=1,b_2=2$이고 $\displaystyle A_3$에는 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle 1$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 1$개, $\displaystyle 2$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 2$개, $\displaystyle 3$번 나타나는 원소가 1개 있으므로 $\displaystyle b_3=4$이다. $\displaystyle A_4$에는 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle 2$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 2$개, $\displaystyle 3$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 3$개, $\displaystyle 4$번 나타나는 원소가 1개 있으므로 $\displaystyle b_4=6$이다. $\displaystyle A_5$에는 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle 3$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 3$개, $\displaystyle 4$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 4$개, $\displaystyle 5$번 나타나는 원소가 1개 있으므로 $\displaystyle b_5=8$이다. 같은 방법으로 $\displaystyle n\ge3$일 때 $\displaystyle A_n$의 원소는 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle n-2$번, $\displaystyle n-1$번, $\displaystyle n$번 나타나는 원소로 구분할 수 있다.그리고 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle n-2$번 나타나는 원소의 개수는 일의 자리와 최고 자리를 제외한 $\displaystyle n-2$개의 자리 중 $\displaystyle n-1$개는 $\displaystyle 1$이고 $\displaystyle 0$이 $\displaystyle 1$번만 들어가는 경우의 수이며, 이는 $\displaystyle n-2$이다.Correction. ‘$\displaystyle n-1$개는 $\displaystyle 1$’에서 $\displaystyle n-1$은 $\displaystyle n-3$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle n-1$번 나타나는 원소의 개수는 일의 자리와 최고자리를 제외한 나머지 $\displaystyle n-2$개의 자리 중 $\displaystyle 0$이 $\displaystyle 0$번 또는 $\displaystyle 1$번 들어가고 나머지가 $\displaystyle 1$로 나타나는 경우의 수이며, 이는 $\displaystyle (n-2)+1=n-1$이다. 마지막으로 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle n$번 나타나는 원소의 개수는 모든 자릿수에 $\displaystyle 1$이 나타나는 경우의 수이며, 이는 $\displaystyle 1$이다.따라서 $\displaystyle n\ge3$일 때 $\displaystyle b_n=(n-2)+(n-1)+1=2(n-1)$이다. 그리고 $\displaystyle 10^5$보다 작은 수가 적힌 카드의 개수는 $\displaystyle \sum_{k=1}^5 b_k=b_1+b_2+\sum_{k=3}^5 b_k=1-2\times5+2\times\frac{5\times6}{2}=21$이다. 그러므로 상자 안에 들어있을 수 있는 $\displaystyle 10^5$보다 크고 $\displaystyle 10^9$보다 작은 수가 적힌 카드의 최대 개수는 $\displaystyle \sum_{k=6}^9 b_k=1-2\times9+2\times\frac{9\times10}{2}-21=52$이다.

이에 대하여 구하는 확률은 다음 두 가지 경우로 나누어 생각해 볼 수 있다.(경우 1) 상자 안에 들어있는 $\displaystyle 10^5$보다 크고 $\displaystyle 10^9$보다 작은 수가 적힌 카드 개수가 $\displaystyle 52$보다 작은 경우에는 $\displaystyle \frac{r-21}{r}=\frac47$이고, 이때 $\displaystyle r$은 $\displaystyle 3r=147$, 즉 $\displaystyle r=49$이다. 그러나 이 값은 제시문의 조건($\displaystyle r>60$)을 만족시키지 않으므로 답이 아니다.(경우 2) 상자 안에 들어있는 $\displaystyle 10^5$보다 크고 $\displaystyle 10^9$보다 작은 수가 적힌 카드 개수가 $\displaystyle 52$인 경우에는 $\displaystyle \frac{52}{r}=\frac47$이고, 이때 $\displaystyle r$은 $\displaystyle r=91$이다. 이 값은 제시문의 조건을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle r=91$이다.

2. 1번 문제에서 수열 $\displaystyle \{b_k\}$의 $\displaystyle n$번째 항까지의 합은$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=1-2n+2\times\frac{n(n+1)}2=n^2-n+1$이고, $\displaystyle n^2-n+1=91$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 10$이다. $\displaystyle n\le2$일 때는 숫자 $\displaystyle 0$이 $\displaystyle 2$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 0$개, $\displaystyle 1$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 1$개, $\displaystyle 0$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 2$개 있다. $\displaystyle n\ge3$일 때 $\displaystyle A_n$의 원소 중 숫자 $\displaystyle 0$이 $\displaystyle 2$번 나타나는 원소가 $\displaystyle n-2$개, $\displaystyle 1$번 나타나는 원소가 $\displaystyle n-1$개, $\displaystyle 0$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 1$개이므로$\displaystyle \mathrm{P}(X=0)=\frac{1\times10}{91}=\frac{10}{91}$, $\displaystyle \mathrm{P}(X=1)=\frac{\sum_{k=2}^{10}(k-1)}{91}=\frac{\frac{10\times11}{2}-10}{91}=\frac{45}{91}$,$\displaystyle \mathrm{P}(X=2)=\frac{\sum_{k=3}^{10}(k-2)}{91}=\frac{\frac{8\times9}{2}}{91}=\frac{36}{91}$이다.

따라서 이 확률변수의 기댓값은$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{45}{91}+2\times\frac{36}{91}=\frac{117}{91}=\frac97$이며 분산은

ⅰ) $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{V}(X)&=\left(0-\frac97\right)^2\times\frac{10}{91}+\left(1-\frac97\right)^2\times\frac{45}{91}+\left(2-\frac97\right)^2\times\frac{36}{91}\\&=\frac{81\times10+4\times45+25\times36}{49\times91}=\frac{1890}{49\times91}=\frac{270}{637}\end{aligned}$.

3. $\displaystyle a_1=1,a_2=3$이다. 그리고 1번 문제에서 얻은 결과를 활용하면 $\displaystyle A_3$에는 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle 1$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 1$개, $\displaystyle 2$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 2$개, $\displaystyle 3$번 나타나는 원소가 1개 있으므로 $\displaystyle a_3=1\times1+2\times2+3\times1=8$이다. $\displaystyle A_4$에는 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle 2$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 2$개, $\displaystyle 3$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 3$개, $\displaystyle 4$번 나타나는 원소가 1개 있으므로$\displaystyle a_4=2\times2+3\times3+4\times1=17$이다. $\displaystyle A_5$에는 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle 3$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 3$개, $\displaystyle 4$번 나타나는 원소가 $\displaystyle 4$개, $\displaystyle 5$번 나타나는 원소가 1개 있으므로$\displaystyle a_5=3\times3+4\times4+5\times1=30$이다. 같은 방법으로 $\displaystyle n\ge3$일 때 $\displaystyle A_n$의 원소는 숫자 $\displaystyle 1$이 $\displaystyle n-2$번, $\displaystyle n-1$번, $\displaystyle n$번 나타나는 원소의 개수가 각각 $\displaystyle n-2$, $\displaystyle n-1$, $\displaystyle 1$개이므로$\displaystyle n\ge3$일 때 $\displaystyle a_n=(n-2)\times(n-2)+(n-1)\times(n-1)+n=2n^2-5n+5$으로 나타낼 수 있다. $\displaystyle n=2$일 때도 $\displaystyle a_2=3=2\times2^2-5\times2+5$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^{20}a_k&=a_1+\sum_{k=2}^{20}(2k^2-5k+5)=1+\left\{\sum_{k=1}^{20}(2k^2-5k+5)-(2\times1^2-5\times1+5)\right\}\\&=2\sum_{k=1}^{20}k^2-5\sum_{k=1}^{20}k+5\times20-2+1=2\times\frac{20\times21\times41}{6}-5\times\frac{20\times21}{2}+99\\&=5740-1050+99=4789\end{aligned}$.