상경계열 2번

1. $\displaystyle x$의 범위를 구하면 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)\le g^{\prime}(x)&\Leftrightarrow f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\le0\Leftrightarrow\frac{d}{dx}(x^{3}-9x^{2}-48x)\le0\Leftrightarrow3(x^{2}-6x-16)\le0\\&\Leftrightarrow(x+2)(x-8)\le0\Leftrightarrow-2\le x\le8\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(x)\le g^{\prime}(x)&\Leftrightarrow g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x)\ge0\Leftrightarrow\frac{d}{dx}(2x^{3}-21x^{2}+72x)\ge0\Leftrightarrow6x^{2}-42x+72\ge0\\&\Leftrightarrow6(x^{2}-7x+12)\ge0\Leftrightarrow(x-3)(x-4)\ge0\Leftrightarrow x\le3\text{ 또는 }x\ge4\end{aligned}$$\displaystyle x$는 $\displaystyle -2\le x\le3$ 또는 $\displaystyle 4\le x\le8$에 있다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^{3}-24x^{2}-4x+24=4(x^{3}-6x^{2}-x+6)=4(x-6)(x^{2}-1)=4(x+1)(x-1)(x-6)$$\displaystyle x=-1,6$에서 극솟값, $\displaystyle x=1$에서 극댓값을 갖는다. 함수의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}x&-2&\cdots&-1&\cdots&1&\cdots&3&\cdots&4&\cdots&6&\cdots&8\\\hline f^{\prime}(x)&-&-&0&+&0&-&-&&-&-&0&+&+\\\hline f(x)&24&\searrow&-17&\nearrow&15&\searrow&-81&&-192&\searrow&-360&\nearrow&64\end{array}$최댓값은 $\displaystyle f(-2),\ f(1),\ f(4),\ f(8)$을 비교하면 되고, 최솟값은 $\displaystyle f(-1),\ f(3),\ f(6)$을 비교하면 된다. 최댓값은 $\displaystyle 64$, 최솟값은 $\displaystyle -360$이다.

2. $\displaystyle 2025=3^{4}\times5^{2}$를 이용하여, $\displaystyle 2025$의 약수 가운데 $\displaystyle 0<a<25$인 것을 작은 수부터 크기순으로 나열하면$\displaystyle a_{1}=1,\ a_{2}=3,\ a_{3}=5,\ a_{4}=9,\ a_{5}=15$가 되어 $\displaystyle N=5$이다.

코사인 법칙을 이용하면$\displaystyle \cos\theta_{n}=\frac{a_{n}^{2}+a_{n+1}^{2}-(a_{n+1}-a_{n}+1)^{2}}{2a_{n}a_{n+1}}=\frac{2a_{n+1}a_{n}-2(a_{n+1}-a_{n})-1}{2a_{n}a_{n+1}}=1-\frac{2(a_{n+1}-a_{n})+1}{2a_{n}a_{n+1}}$임을 알 수 있다.$\displaystyle \cos\theta_{1}=\frac{1}{6},\ \cos\theta_{2}=\frac{5}{6},\ \cos\theta_{3}=\frac{9}{10},\ \cos\theta_{4}=\frac{257}{270}$이다.따라서, $\displaystyle \sum_{k=1}^{4}\cos\theta_{k}=\frac{770}{270}=\frac{77}{27}$이다.

3. $\displaystyle a_{1}$을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 1$이라 하면 $\displaystyle a_{2}=a_{1}+1$이고$\displaystyle a_{3}=12a_{2}-12=12(a_{1}+1)-12=12a_{1}$이고,$\displaystyle a_{4}=\frac{a_{3}}{3}=\frac{12a_{1}}{3}=4a_{1}$이다. $\displaystyle a_{4}=4a_{1}=3a_{1}+a_{1}$이고 $\displaystyle a_{1}$을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle a_{4}$도 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 1$이다.위를 반복하면, $\displaystyle a_{7}=16a_{1}$이고 $\displaystyle a_{8}=16a_{1}+1$임을 얻을 수 있고,$\displaystyle a_{8}-a_{2}=(16a_{1}+1)-(a_{1}+1)=15a_{1}$을 얻는다.그러므로 $\displaystyle 50<a_{8}-a_{2}<200$일 필요충분조건은 $\displaystyle 50<15a_{1}<200$이고, 만족시키는 $\displaystyle a_{1}$의 집합은 $\displaystyle \{4,7,10,13\}$이다.$\displaystyle a_{1}$을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 2$이라 하면 $\displaystyle a_{2}=12a_{1}-12$이고 $\displaystyle a_{3}=4a_{1}-4$이고,$\displaystyle a_{4}=4a_{1}-3$이다.$\displaystyle a_{4}=4a_{1}-3=3(a_{1}-1)+a_{1}$이고 $\displaystyle a_{1}$을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 2$이므로 $\displaystyle a_{4}$도 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 2$이다.위를 반복하면, $\displaystyle a_{7}=4(4a_{1}-3)-3=16a_{1}-15$이고$\displaystyle a_{8}=12(16a_{1}-15)-12=192a_{1}-192$임을 얻을 수 있고,$\displaystyle a_{8}-a_{2}=(192a_{1}-192)-(12a_{1}-12)=180(a_{1}-1)$를 얻는다.그러므로 $\displaystyle 50<a_{8}-a_{2}<200$일 필요충분조건은 $\displaystyle 50<180(a_{1}-1)<200$이고,만족시키는 $\displaystyle a_{1}$의 집합은 $\displaystyle \{2\}$이다.

조건을 모두 만족시키는 $\displaystyle a_{1}$의 집합은 $\displaystyle \{2,4,7,10,13\}$이고, 최솟값 $\displaystyle m$은 $\displaystyle 2$, 최댓값 $\displaystyle M$은 $\displaystyle 13$이다.