자연계열 1번

1. 삼각형의 무게중심이 $\displaystyle (a,b)$일 때, 점 $\displaystyle (a,b)$에서 직선 $\displaystyle 2x+y-30=0$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{|2a+b-30|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}$이다. $\displaystyle \frac{|2a+b-30|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}\le6\sqrt{5}$일 필요충분조건은 $\displaystyle |2a+b-30|\le30$이다.선택된 세 점 A, B, C와 이 점들로 만들어진 삼각형의 무게중심 $\displaystyle (a,b)$와 $\displaystyle |2a+b-30|$의 값은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\text{점 A}&(-6,-3)&(-6,-3)&(-6,-3)&(-6,-3)&(-6,-3)&(-6,-3)\\\hline\text{점 B}&(-6,3)&(-6,3)&(-6,3)&(-3,6)&(-3,6)&(6,-3)\\\hline\text{점 C}&(-3,6)&(6,-3)&(6,3)&(6,-3)&(6,3)&(6,3)\\\hline\text{무게중심 }(a,b)&(-5,2)&(-2,-1)&(-2,1)&(-1,0)&(-1,2)&(2,-1)\\\hline|2a+b-30|&38&35&33&32&30&27\end{array}$$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}\text{점 A}&(-6,3)&(-6,3)&(-6,3)&(-3,6)\\\hline\text{점 B}&(-3,6)&(-3,6)&(6,-3)&(6,-3)\\\hline\text{점 C}&(6,-3)&(6,3)&(6,3)&(6,3)\\\hline\text{무게중심 }(a,b)&(-1,2)&(-1,4)&(2,1)&(3,2)\\\hline|2a+b-30|&30&28&25&22\end{array}$

그러므로 $\displaystyle |2a+b-30|\le30$를 만족하는 총 경우의 수는 $\displaystyle 6$이다.답: $\displaystyle 6$

2. 각 $\displaystyle \mathrm{F}_{1}\mathrm{E}_{1}\mathrm{G}_{1}$은 호 $\displaystyle \mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1}$에 대한 원주각이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{F}_{1}\mathrm{E}_{1}\mathrm{G}_{1}=\frac{\pi}{4}$이다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{E}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1}$에서 $\displaystyle \angle\mathrm{E}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1}=\frac{3\pi}{4}-\theta$이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{F}_{1}}=\overline{\mathrm{C}_{1}\mathrm{G}_{1}}$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{C}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{G}_{1}=\frac{\pi}{4}$이다. 그러므로 $\displaystyle \angle\mathrm{B}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{E}_{1}=\theta$이다.두 직선 $\displaystyle \mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}$가 평행하므로 $\displaystyle \angle\mathrm{C}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{F}_{1}=\angle\mathrm{B}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{E}_{1}=\theta$,$\displaystyle \angle\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{F}_{1}=\angle\mathrm{C}_{1}\mathrm{F}_{1}\mathrm{C}_{2}=\frac{\pi}{4}$이다.또한, 두 직선 $\displaystyle \mathrm{C}_{1}\mathrm{D}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}$가 평행하므로 $\displaystyle \angle\mathrm{D}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{G}_{1}=\angle\mathrm{C}_{1}\mathrm{G}_{1}\mathrm{C}_{2}=\frac{\pi}{4}$이다.그러므로 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{F}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{G}_{1}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}$는 서로 닮음이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{F}_{1}}=a$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{G}_{1}}=\sqrt{2}-a$이고, 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}$의 한 변의 길이를 $\displaystyle r$이라 하면 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{F}_{1}$과 $\displaystyle \mathrm{G}_{1}\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}$는 서로 닮음이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{D}_{2}}:\overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{G}_{1}}=\overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{F}_{1}}:\overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{B}_{2}}\Leftrightarrow r:(\sqrt{2}-a)=a:r\Leftrightarrow r^{2}=a(\sqrt{2}-a)$이다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}\mathrm{F}_{1}$에서 사인법칙에 의하여$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{C}_{2}\mathrm{F}_{1}}}{\sin\angle\mathrm{C}_{2}\mathrm{B}_{2}\mathrm{F}_{1}}=\frac{\overline{\mathrm{B}_{2}\mathrm{C}_{2}}}{\sin\angle\mathrm{B}_{2}\mathrm{F}_{1}\mathrm{C}_{2}}\Leftrightarrow\frac{a}{\sin\theta}=\frac{r}{\sin\left(\frac{3\pi}{4}-\theta\right)}$이다.사인함수의 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle r=a\frac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\theta}=\frac{\sqrt{2}}{2}a(1+\cot\theta)$이다.$\displaystyle a$와 $\displaystyle r$이 만족시키는 두 식으로부터 $\displaystyle a=\frac{2\sqrt{2}}{(1+\cot\theta)^{2}+2},\ r=\frac{2(1+\cot\theta)}{(1+\cot\theta)^{2}+2}$이다.$\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{5}}{5}$이므로 $\displaystyle \cot\theta=\frac{1}{2},\ r=\frac{12}{17}$이고,따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_{n}$은 첫째항이 $\displaystyle 4$, 공비가 $\displaystyle \frac{r^{2}}{4}$인 등비급수이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_{n}=\frac{4}{1-\frac{r^{2}}{4}}=\frac{1156}{253}$이다.답: $\displaystyle \frac{1156}{253}$

3. 두 직선 BM과 PN은 점 S에서 만나므로 두 직선은 하나의 평면을 결정한다.두 직선 BP와 MN은 한 평면 위에 있으면서 서로 평행한 두 평면 ABC와 DEF에 각각 포함되어 있으므로, 이 두 직선은 서로 평행하다. 점 P에서 평면 DEF에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$이라 하면 두 직선 $\displaystyle \mathrm{EP}^{\prime}$과 MN도 서로 평행하며 두 직선 $\displaystyle \mathrm{EP}^{\prime}$과 QR은 서로 수직이다.그러므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$에서 선분 EF에 내린 수선의 발을 H라 하면,두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}\mathrm{EH}$와 RQE는 서로 닮음임을 알 수 있다.점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$은 선분 DF를 $\displaystyle 2:1$로 내분하므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{F}}=\sqrt{2}$이며 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{HF}}=1$이고따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{EH}}=2$이다.그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{EQ}}:\overline{\mathrm{ER}}=\overline{\mathrm{EH}}:\overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{H}}\Leftrightarrow t:(3-t)=2:1$이고 $\displaystyle t=2$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{ER}}=1$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{RH}}=1,\ \overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{R}}=\sqrt{2}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}=\sqrt{\overline{\mathrm{PP}^{\prime}}^{2}+\overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{R}}^{2}}=\sqrt{38}$이다.점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$에서 선분 EQ에 내린 수선의 발은 선분 EQ의 중점이 되므로$\displaystyle \overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}}=\overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{E}}=\sqrt{5}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\sqrt{\overline{\mathrm{PP}^{\prime}}^{2}+\overline{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}}^{2}}=\sqrt{41}$이다.삼각형 PQR에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos\angle\mathrm{QPR}=\frac{41+38-5}{2\sqrt{41}\times\sqrt{38}}=\frac{37}{\sqrt{1558}}$이므로$\displaystyle \sin\angle\mathrm{QPR}=\frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{1558}}$이다.즉, 삼각형 PQR의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{PQ}}\times\overline{\mathrm{PR}}\times\sin\angle\mathrm{QPR}=\frac{3\sqrt{21}}{2}$이다.삼각형 PQR의 평면 DEF위로의 정사영은 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}\mathrm{QR}$이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}\mathrm{QR}$의 넓이는 (삼각형 DEF의 넓이)-(삼각형 $\displaystyle \mathrm{DQP}^{\prime}$의 넓이)-(삼각형 QER의 넓이)-(삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}\mathrm{RF}$의 넓이)$\displaystyle =\frac{9}{2}-1-1-1=\frac{3}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{21}}{21}$이다.답: $\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{21}$