자연계열 (오후1) 1번

한양대 서울캠퍼스 2026학년도 수시 자연계열 (오후1) 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2026su/jayeon_pm1_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

<가> 곡선 $\displaystyle y=2^{x}$ 위에 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle 6$ 이상인 점 $\displaystyle \mathrm{A}_{1}$ 이 있다. 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle n$ 이 홀수이면 점 $\displaystyle \mathrm{A}_{n+1}$ 은 점 $\displaystyle \mathrm{A}_{n}$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선과 곡선 $\displaystyle y=2^{x-3}+35$ 가 만나는 점이고, $\displaystyle n$ 이 짝수이면 점 $\displaystyle \mathrm{A}_{n+1}$ 은 점 $\displaystyle \mathrm{A}_{n}$ 에서 $\displaystyle y$ 축에 내린 수선과 곡선 $\displaystyle y=2^{x}$ 이 만나는 점이다. 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{A}_{2k-1}$ 의 $\displaystyle y$ 좌표를 $\displaystyle y_{k}$ 라 하자.

<나> $\displaystyle a^{2}+b^{2}=1$ 인 두 실수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}(a\sin t+b|\sin(2t)|)\,dt$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(1) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle (0,\pi)$ 에서 증가하거나 구간 $\displaystyle (0,\pi)$ 에서 감소한다.(2) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 증가하거나 구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 감소한다.

1. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{3}}=1$ 일 때 두 선분 $\displaystyle \mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2},\ \mathrm{A}_{2}\mathrm{A}_{3}$ 과 곡선 $\displaystyle y=2^{x}$ 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

2. $\displaystyle y_{5}=\frac{10725}{256}$ 일 때 $\displaystyle y_{1}$ 의 값을 구하시오.

3. 정적분 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$ 의 값이 최소가 되도록 하는 모든 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 와 그 최솟값을 구하시오.

해설강의 준비중

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+15점 ·

\displaystyle \mathrm{A}_{1}

과

\displaystyle \mathrm{A}_{2}

의

\displaystyle x

좌표를 로그의 값으로 표현했는가?Correction. 예시답안에서 로그로 구한 두 좌표는

\displaystyle A_1

과

\displaystyle A_3

의

\displaystyle x

좌표이다.

1. $\displaystyle \mathrm{A}_{1}$ 의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle s_{1}$ , $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$ 의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle s_{2}$ 라 하자. 주어진 조건에 의해 $\displaystyle s_{1}=s_{2}+1$ 이다. $\displaystyle \mathrm{A}_{2}$ 의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle 2^{s_{1}-3}+35$ 이므로 $\displaystyle s_{2}=\log_{2}(2^{s_{1}-3}+35)$ 이다. $\displaystyle s_{2}=\log_{2}(2^{s_{1}-3}+35)=s_{1}-1$ 이므로 $\displaystyle 2^{s_{1}-3}+35=2^{s_{1}-1}$ 이고, $\displaystyle 2^{s_{1}}=\frac{280}{3},\ s_{1}=\log_{2}\frac{280}{3}$ 이다.그러므로 $\displaystyle s_{2}=\log_{2}\left(\frac{280}{3}\right)-1=\log_{2}\frac{140}{3}$ 이다.

+15점 · 지수함수의 적분을 이용하여 두 직선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구했는가?

$\displaystyle \mathrm{A}_{1}$ 에서 $\displaystyle x$ 축으로 내린 수선의 발을 점 B, $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$ 에서 $\displaystyle x$ 축으로 내린 수선의 발을 점 C라 하자.곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 선분 $\displaystyle \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}$ , 선분 BC, 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}_{3}$ 로 둘러싸인 영역의 넓이는Correction. 여기서 $\displaystyle y=f(x)$ 는 $\displaystyle y=2^x$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \int_{s_{2}}^{s_{1}}2^{x}\,dx=\Biggl[\frac{2^{x}}{\ln2}\Biggr]_{s_{2}}^{s_{1}}=\frac{1}{\ln2}\left(\frac{280}{3}-\frac{140}{3}\right)=\frac{140}{3\ln2}$ 이다. 그러므로 구하고자 하는 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{140}{3\ln2}-\frac{140}{3}=\frac{140}{3}\left(\frac{1}{\ln2}-1\right)$ 이다.

+15점 · 두 항

\displaystyle y_{k},\ y_{k+1}

사이의 관계식을 구했는가?

2. $\displaystyle \mathrm{A}_{2k-1}$ 의 $\displaystyle y$ 좌표가 $\displaystyle y_{k}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{2k-1}$ 의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle \log_{2}y_{k}$ 이다.그러므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{2k+1}$ 의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle y_{k+1}=2^{\log_{2}y_{k}-3}+35=\frac{1}{8}y_{k}+35$ 이다.

+15점 ·

\displaystyle y_{5}=\frac{10725}{256}

이 되도록 하는

\displaystyle y_{1}

의 값을 구했는가?

이를 이용하면 $\displaystyle y_{2}=\frac{1}{8}y_{1}+35,$ $\displaystyle y_{3}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}y_{1}+35\right)+35=\frac{1}{8^{2}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}\right),$ $\displaystyle y_{4}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8^{2}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}\right)\right)+35=\frac{1}{8^{3}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^{2}}\right),$ $\displaystyle y_{5}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8^{3}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^{2}}\right)\right)+35=\frac{1}{8^{4}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8^{3}}\right)$ 을 얻는다. $\displaystyle y_{5}=\frac{1}{8^{4}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8^{1}}+\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8^{3}}\right)=\frac{10725}{256}$ 이고,양변에 $\displaystyle 8^{4}$ 을 곱하면 $\displaystyle y_{1}+35(8^{4}+8^{3}+8^{2}+8^{1})=y_{1}+35\frac{8(8^{4}-1)}{8-1}=y_{1}+40\times63\times65=5\times33\times65\times2^{4}$ 을 얻는다. $\displaystyle y_{1}=40\times65\times(2\times33-63)=7800$ 이므로 구하는 값은 $\displaystyle 7800$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle a\ne0

일 때 조건 (1)의 필요충분조건이

\displaystyle |a|\ge2|b|

임을 구하였는가?Correction. 채점기준에서

\displaystyle a\ne0

일 때의 ‘조건 (1)’은 ‘조건 (1)과 (2)’의 오기이다.

\displaystyle |a|\ge2|b|

는 두 조건을 모두 만족시키는 필요충분조건이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+20점 ·

\displaystyle a

와

\displaystyle b

의 부호에 따라 경우를 나누고, 각각의 경우에 주어진 정적분의 최솟값을 구하였는가?

3. 함수 $\displaystyle g(t)=a\sin t+b|\sin(2t)|$ 라 하자. $\displaystyle g(t)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$ 이므로 조건 (1)에 의하여 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$ 에서 $\displaystyle g(t)\ge0$ 이거나 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$ 에서 $\displaystyle g(t)\le0$ 이고, 조건 (2)에 의하여 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle g(t)\ge0$ 이거나 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle g(t)\le0$ 이다.(i) $\displaystyle a=0$ 일 때가능한 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 는 $\displaystyle (0,1),\ (0,-1)$ 이고 $\displaystyle |f^{\prime}(x)|=|g(x)|=|\sin(2x)|\ge0$ 이다.함수 $\displaystyle |\sin(2x)|$ 의 주기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 이므로 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx=4052\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin(2x)|\,dx=4052$ 이다.

(ii) $\displaystyle a\ne0$ 일 때

① $\displaystyle a>0,\ b\ge0$ 일 때

$\displaystyle g\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-a<0$ 이므로 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle g(t)\le0$ 이다.즉, $\displaystyle a\sin t\le b\sin(2t)=2b\sin t\cos t$ 이다.Comment. $\displaystyle b\ge0$ 이므로 $\displaystyle g(t)\le0$ 에서 $\displaystyle a\sin t\le-b|\sin(2t)|\le b\sin(2t)$ 를 얻는다. 원문에서는 이 중간 단계를 생략했다.열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle \sin t<0$ 이므로 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle a\ge2b\cos t$ 이다.열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle -1\le\cos t\le1$ 이므로 $\displaystyle a\ge2b$ 이다. $\displaystyle a^{2}+b^{2}=1$ 이므로 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le a\le1$ 이다. 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$ 에서 $\displaystyle g(x)\ge0$ 이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle g(x)\le0$ 이므로 $\displaystyle \sin(x+\pi)=-\sin x$ 와 $\displaystyle \sin(2x)=\sin(2(x+\pi))$ 를 이용하면 $\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx&=\int_{0}^{\pi}g(x)\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}(-g(x))\,dx\\&=\int_{0}^{\pi}(a\sin x+b|\sin(2x)|)\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}(a\sin x+b|\sin(2x)|)\,dx\\&=2a\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx\\&=4a\end{aligned}$ 함수 $\displaystyle |g(x)|$ 의 주기가 $\displaystyle 2\pi$ 이므로 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|g(x)|\,dx=1013\int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx=4052a$ 이다. $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le a\le1$ 이므로 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$ 의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$ 이고 이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 는 $\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ 이다.

② $\displaystyle a>0,\ b<0$ 일 때

$\displaystyle g\left(\frac{\pi}{2}\right)=a>0$ 이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle \sin t<0$ 이므로 ①과 같은 방법으로 $\displaystyle a\ge2b$ 이고 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le a\le1$ 이다.Correction. $\displaystyle a\ge2b$ 는 $\displaystyle a\ge-2b$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$ 에서 $\displaystyle g(x)\ge0$ 이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle g(x)\le0$ 이므로 ①과 같이 $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx=\int_{0}^{\pi}g(x)\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}(-g(x))\,dx=4a$ 이며 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|g(x)|\,dx=4052a$ 이다.따라서 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$ 의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$ 이고, 이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 는 $\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ 이다.

③ $\displaystyle a<0,\ b\ge0$ 일 때

$\displaystyle g\left(\frac{\pi}{2}\right)=a<0$ 이고 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$ 에서 $\displaystyle \sin t>0$ 이므로 ①과 같은 방법으로 $\displaystyle -a\ge2b$ 이고 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le-a\le1$ 이다. 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$ 에서 $\displaystyle g(x)\le0$ 이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle g(x)\ge0$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx&=\int_{0}^{\pi}(-g(x))\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}g(x)\,dx\\&=\int_{0}^{\pi}(-a\sin x-b|\sin(2x)|)\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}(a\sin x+b|\sin(2x)|)\,dx\\&=-2a\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx\\&=-4a\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|g(x)|\,dx=-4052a$ 이고 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$ 의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$ 이다.이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 는 $\displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ 이다.

④ $\displaystyle a<0,\ b<0$ 일 때

$\displaystyle g\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-a>0$ 이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle \sin t>0$ 이므로 ①과 같은 방법으로 $\displaystyle -a\ge-2b$ 이고 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le-a\le1$ 이다.Correction. 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서는 $\displaystyle \sin t<0$ 이다. $\displaystyle \sin t>0$ 은 부등호의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$ 에서 $\displaystyle g(x)\le0$ 이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$ 에서 $\displaystyle g(x)\ge0$ 이므로 ③과 같이 $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx=\int_{0}^{\pi}(-g(x))\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}g(x)\,dx=-4a$ 이며 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|g(x)|\,dx=-4052a$ 이다.따라서 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$ 의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$ 이고, 이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 는 $\displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ 이다.

+10점 · 정적분이 최소가 되도록 하는 순서쌍

\displaystyle (a,b)

를 모두 구하고 그 최솟값을 구하였는가?

(i), (ii)에 의해 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$ 의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$ 이고,이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 는 $\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\quad\left(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\quad\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\quad\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ 이다.

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