자연계열 (오후1) 1번

1. $\displaystyle \mathrm{A}_{1}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle s_{1}$, $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle s_{2}$라 하자. 주어진 조건에 의해 $\displaystyle s_{1}=s_{2}+1$이다.$\displaystyle \mathrm{A}_{2}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle 2^{s_{1}-3}+35$이므로$\displaystyle s_{2}=\log_{2}(2^{s_{1}-3}+35)$이다. $\displaystyle s_{2}=\log_{2}(2^{s_{1}-3}+35)=s_{1}-1$이므로 $\displaystyle 2^{s_{1}-3}+35=2^{s_{1}-1}$이고,$\displaystyle 2^{s_{1}}=\frac{280}{3},\ s_{1}=\log_{2}\frac{280}{3}$이다.그러므로 $\displaystyle s_{2}=\log_{2}\left(\frac{280}{3}\right)-1=\log_{2}\frac{140}{3}$이다.$\displaystyle \mathrm{A}_{1}$에서 $\displaystyle x$축으로 내린 수선의 발을 점 B, $\displaystyle \mathrm{A}_{3}$에서 $\displaystyle x$축으로 내린 수선의 발을 점 C라 하자.곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 선분 $\displaystyle \mathrm{A}_{1}\mathrm{B}$, 선분 BC, 선분 $\displaystyle \mathrm{CA}_{3}$로 둘러싸인 영역의 넓이는Correction. 여기서 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle y=2^x$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \int_{s_{2}}^{s_{1}}2^{x}\,dx=\Biggl[\frac{2^{x}}{\ln2}\Biggr]_{s_{2}}^{s_{1}}=\frac{1}{\ln2}\left(\frac{280}{3}-\frac{140}{3}\right)=\frac{140}{3\ln2}$이다. 그러므로 구하고자 하는 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{140}{3\ln2}-\frac{140}{3}=\frac{140}{3}\left(\frac{1}{\ln2}-1\right)$이다.

2. $\displaystyle \mathrm{A}_{2k-1}$의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle y_{k}$이므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{2k-1}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \log_{2}y_{k}$이다.그러므로 $\displaystyle \mathrm{A}_{2k+1}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y_{k+1}=2^{\log_{2}y_{k}-3}+35=\frac{1}{8}y_{k}+35$이다. 이를 이용하면$\displaystyle y_{2}=\frac{1}{8}y_{1}+35,$$\displaystyle y_{3}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8}y_{1}+35\right)+35=\frac{1}{8^{2}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}\right),$$\displaystyle y_{4}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8^{2}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}\right)\right)+35=\frac{1}{8^{3}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^{2}}\right),$$\displaystyle y_{5}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{8^{3}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^{2}}\right)\right)+35=\frac{1}{8^{4}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8^{3}}\right)$을 얻는다.$\displaystyle y_{5}=\frac{1}{8^{4}}y_{1}+35\left(1+\frac{1}{8^{1}}+\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{8^{3}}\right)=\frac{10725}{256}$이고,양변에 $\displaystyle 8^{4}$을 곱하면$\displaystyle y_{1}+35(8^{4}+8^{3}+8^{2}+8^{1})=y_{1}+35\frac{8(8^{4}-1)}{8-1}=y_{1}+40\times63\times65=5\times33\times65\times2^{4}$을 얻는다.$\displaystyle y_{1}=40\times65\times(2\times33-63)=7800$이므로 구하는 값은 $\displaystyle 7800$이다.

3. 함수 $\displaystyle g(t)=a\sin t+b|\sin(2t)|$라 하자. $\displaystyle g(t)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$이므로 조건 (1)에 의하여 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle g(t)\ge0$이거나 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle g(t)\le0$이고, 조건 (2)에 의하여 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle g(t)\ge0$이거나 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle g(t)\le0$이다.(i) $\displaystyle a=0$일 때가능한 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (0,1),\ (0,-1)$이고 $\displaystyle |f^{\prime}(x)|=|g(x)|=|\sin(2x)|\ge0$이다.함수 $\displaystyle |\sin(2x)|$의 주기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$이므로$\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx=4052\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin(2x)|\,dx=4052$이다.

(ii) $\displaystyle a\ne0$일 때

① $\displaystyle a>0,\ b\ge0$일 때

$\displaystyle g\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-a<0$이므로 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle g(t)\le0$이다.즉, $\displaystyle a\sin t\le b\sin(2t)=2b\sin t\cos t$이다.Comment. $\displaystyle g(t)\le0$을 그대로 옮기면 $\displaystyle a\sin t\le-b|\sin(2t)|$이다. 이를 정리하면 $\displaystyle a\ge2b|\cos t|$를 얻는다.열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle \sin t<0$이므로 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle a\ge2b\cos t$이다.열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle -1\le\cos t\le1$이므로 $\displaystyle a\ge2b$이다.$\displaystyle a^{2}+b^{2}=1$이므로 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le a\le1$이다. 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle g(x)\ge0$이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle g(x)\le0$이므로 $\displaystyle \sin(x+\pi)=-\sin x$와 $\displaystyle \sin(2x)=\sin(2(x+\pi))$를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx&=\int_{0}^{\pi}g(x)\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}(-g(x))\,dx\\&=\int_{0}^{\pi}(a\sin x+b|\sin(2x)|)\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}(a\sin x+b|\sin(2x)|)\,dx\\&=2a\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx\\&=4a\end{aligned}$함수 $\displaystyle |g(x)|$의 주기가 $\displaystyle 2\pi$이므로 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|g(x)|\,dx=1013\int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx=4052a$이다.$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le a\le1$이므로 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$이고 이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$이다.

② $\displaystyle a>0,\ b<0$일 때

$\displaystyle g\left(\frac{\pi}{2}\right)=a>0$이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle \sin t<0$이므로 ①과 같은 방법으로 $\displaystyle a\ge2b$이고 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le a\le1$이다.열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle g(x)\ge0$이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle g(x)\le0$이므로 ①과 같이$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx=\int_{0}^{\pi}g(x)\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}(-g(x))\,dx=4a$이며$\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|g(x)|\,dx=4052a$이다.따라서 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$이고, 이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$이다.

③ $\displaystyle a<0,\ b\ge0$일 때

$\displaystyle g\left(\frac{\pi}{2}\right)=a<0$이고 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle \sin t>0$이므로 ①과 같은 방법으로 $\displaystyle -a\ge2b$이고 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le-a\le1$이다. 열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle g(x)\le0$이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle g(x)\ge0$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx&=\int_{0}^{\pi}(-g(x))\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}g(x)\,dx\\&=\int_{0}^{\pi}(-a\sin x-b|\sin(2x)|)\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}(a\sin x+b|\sin(2x)|)\,dx\\&=-2a\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx\\&=-4a\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|g(x)|\,dx=-4052a$이고 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$이다.이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$이다.

④ $\displaystyle a<0,\ b<0$일 때

$\displaystyle g\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-a>0$이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle \sin t>0$이므로 ①과 같은 방법으로 $\displaystyle -a\ge-2b$이고 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\le-a\le1$이다.열린구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle g(x)\le0$이고 열린구간 $\displaystyle (\pi,2\pi)$에서 $\displaystyle g(x)\ge0$이므로 ③과 같이 $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}|g(x)|\,dx=\int_{0}^{\pi}(-g(x))\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}g(x)\,dx=-4a$이며 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|g(x)|\,dx=-4052a$이다.따라서 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$이고, 이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$이다.

(i), (ii)에 의해 $\displaystyle \int_{0}^{2026\pi}|f^{\prime}(x)|\,dx$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{8104}{\sqrt{5}}$이고,이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\quad\left(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\quad\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),\quad\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$이다.