자연계열 (오전) 1번

1. 삼각형 ABC의 세 변의 길이를 각각 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=a,\ \overline{\mathrm{AC}}=b,\ \overline{\mathrm{AB}}=c$, $\displaystyle \angle\mathrm{A}$의 크기를 $\displaystyle \theta$라고 하자. 삼각형 ABC의 넓이를 $\displaystyle S$라고 하면,$\displaystyle S=\frac{1}{2}bc\sin\theta$이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac{2S}{bc}=\frac{2\sqrt{26}}{3\times5}=\frac{2\sqrt{26}}{15}$이다.$\displaystyle \angle\mathrm{A}$가 예각이므로 $\displaystyle 0<\cos\theta<1$이고, $\displaystyle \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$이므로$\displaystyle \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt{26}}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225-104}{225}}=\sqrt{\frac{121}{225}}=\frac{11}{15}$이다.

코사인법칙 $\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\theta$를 이용하면,$\displaystyle a=\sqrt{b^{2}+c^{2}-2bc\cos\theta}=\sqrt{3^{2}+5^{2}-2\times3\times5\times\frac{11}{15}}=2\sqrt{3}$이다.삼각형 ABC의 내접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$이라 할 때, $\displaystyle S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$이므로$\displaystyle r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{2\sqrt{26}}{2\sqrt{3}+3+5}=\frac{\sqrt{26}}{4+\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{26}-\sqrt{78}}{13}$이다.답 : $\displaystyle \frac{4\sqrt{26}-\sqrt{78}}{13}$

2. $\displaystyle a_{n}$은 (전체 $\displaystyle f$의 개수) - ($\displaystyle f(a)$가 짝수이면서 $\displaystyle f(b)$가 홀수인 $\displaystyle f$의 개수)이다.두 집합 $\displaystyle X$과 $\displaystyle Y$의 원소의 개수가 각각 $\displaystyle 3,n$이므로 $\displaystyle n$이 주어졌을 때 전체 $\displaystyle f$의 개수는 $\displaystyle n^{3}$이다.Correction. ‘X과 Y’는 ‘X와 Y’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.한편, $\displaystyle f(a)$가 짝수이면서 $\displaystyle f(b)$가 홀수인 $\displaystyle f$의 개수는 세 사건에 대한 곱의 법칙에 따라(집합 $\displaystyle Y$에서 짝수인 원소의 개수)×(집합 $\displaystyle Y$에서 홀수인 원소의 개수)×$\displaystyle n$이다. 따라서 $\displaystyle a_{n}$은 자연수 $\displaystyle k$에 대해$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}(2k-1)^{3}-(k-1)k(2k-1)=6k^{3}-9k^{2}+5k-1&(n=2k-1)\\(2k)^{3}-k^{2}(2k)=6k^{3}&(n=2k)\end{cases}$이다.

$\displaystyle S_{1}=a_{1}=1$이고 자연수의 거듭제곱의 합을 이용해$\displaystyle S_{9}=\sum_{k=1}^{5}(a_{2k-1}+a_{2k})-a_{10},\ S_{12}=\sum_{k=1}^{6}(a_{2k-1}+a_{2k})$을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}S_{9}&=\sum_{k=1}^{5}(12k^{3}-9k^{2}+5k-1)-6\times5^{3}\\&=12\times\left(\frac{5\times6}{2}\right)^{2}-9\times\frac{5\times6\times11}{6}+5\times\frac{5\times6}{2}-5-750\\&=2700-495+75-5-750\\&=1525\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}S_{12}&=\sum_{k=1}^{6}(12k^{3}-9k^{2}+5k-1)\\&=12\times\left(\frac{6\times7}{2}\right)^{2}-9\times\frac{6\times7\times13}{6}+5\times\frac{6\times7}{2}-6=5292-819+105-6\\&=4572\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{S_{9}-S_{1}}{S_{12}}=\frac{1525-1}{4572}=\frac{1}{3}$이다.답 : $\displaystyle \frac{1}{3}$

3. 함수 $\displaystyle f(x),g(c)$를 각각 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3x+2$,$\displaystyle g(c)=\int_{\frac{1}{2}}^{2}|(x+2)(x-1)^{2}-c|\,dx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}|x^{3}-3x+2-c|\,dx$라 하자.$\displaystyle f(x)$의 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^{2}-3$이며 $\displaystyle \frac{1}{2}\le x\le2$에서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$에서 함숫값 $\displaystyle \frac{5}{8}$, $\displaystyle x=1$에서 최솟값 $\displaystyle 0$, $\displaystyle x=2$에서 최댓값 $\displaystyle 4$를 갖는다.한편 $\displaystyle c=4\sin\frac{(2n-1)\pi}{6}$의 값은 자연수 $\displaystyle k$에 대해 다음과 같이 나누어 구할 수 있다.(i) $\displaystyle n=6k-1$일 때 $\displaystyle c=4\sin\frac{(12k-3)\pi}{6}=4\sin\frac{3\pi}{2}=-4$(ii) $\displaystyle n=6k-2$일 때 $\displaystyle c=4\sin\frac{(12k-5)\pi}{6}=4\sin\frac{7\pi}{6}=-2$,$\displaystyle n=6k$일 때 $\displaystyle c=4\sin\frac{(12k-1)\pi}{6}=4\sin\frac{11\pi}{6}=-2$(iii) $\displaystyle n=6k-5$일 때 $\displaystyle c=4\sin\frac{(12k-11)\pi}{6}=4\sin\frac{\pi}{6}=2$,$\displaystyle n=6k-3$일 때 $\displaystyle c=4\sin\frac{(12k-7)\pi}{6}=4\sin\frac{5\pi}{6}=2$(iv) $\displaystyle n=6k-4$일 때 $\displaystyle c=4\sin\frac{(12k-9)\pi}{6}=4\sin\frac{\pi}{2}=4$즉, $\displaystyle c$는 $\displaystyle -4,-2,2,4$의 $\displaystyle 4$개의 값만을 가진다. $\displaystyle g(c)$는 다음의 $\displaystyle 3$가지 경우로 나누어 구할 수 있다.

(i) $\displaystyle c=-4$ 또는 $\displaystyle c=-2$인 경우 $\displaystyle c\le0$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2}\le x\le2$에서 항상 $\displaystyle f(x)\ge c$이고$\displaystyle \begin{aligned}g(c)&=\int_{\frac{1}{2}}^{2}(x^{3}-3x+2-c)\,dx=\Biggl[\frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}+(2-c)x\Biggr]_{\frac{1}{2}}^{2}\\&=-\frac{3}{2}c+1+\frac{23}{64}=-\frac{3}{2}c+\frac{87}{64}\end{aligned}$이다. 이때 $\displaystyle g(-4)=7+\frac{23}{64}=\frac{471}{64}$, $\displaystyle g(-2)=4+\frac{23}{64}=\frac{279}{64}$이다.

(ii) $\displaystyle c=2$일 때는 $\displaystyle f(\sqrt{3})=2$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2}\le x<\sqrt{3}$일 때는 $\displaystyle f(x)<c$이고 $\displaystyle \sqrt{3}\le x\le2$일 때는 $\displaystyle f(x)\ge c$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}g(c)&=\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{3}}(-x^{3}+3x)\,dx+\int_{\sqrt{3}}^{2}(x^{3}-3x)\,dx\\&=\Biggl[-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{2}\Biggr]_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{3}}+\Biggl[\frac{1}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}\Biggr]_{\sqrt{3}}^{2}\\&=\frac{5}{2}-\frac{23}{64}=\frac{137}{64}\end{aligned}$이다.

(iii) $\displaystyle c=4$인 경우 $\displaystyle \frac{1}{2}\le x\le2$에서 항상 $\displaystyle f(x)\le c$이고$\displaystyle \begin{aligned}g(4)&=\int_{\frac{1}{2}}^{2}(-x^{3}+3x+2)\,dx\\&=\Biggl[-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{2}+2x\Biggr]_{\frac{1}{2}}^{2}=\frac{3}{2}\times4-1-\frac{23}{64}\\&=\frac{3}{2}\times4-1-\frac{23}{64}=5-\frac{23}{64}=\frac{297}{64}\end{aligned}$Correction. $\displaystyle \frac32\times4-1-\frac{23}{64}$가 두 줄에 걸쳐 중복되었다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

$\displaystyle 4=\frac{256}{64}$이므로 $\displaystyle c=2$일 때만 문제의 조건인 $\displaystyle g(c)<4$를 만족시키며, 이는 어떤 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle n=6k-5$ 또는 $\displaystyle n=6k-3$인 경우이다.$\displaystyle 2025=6\times338-3$이므로 $\displaystyle g(c)<4$를 만족시키는 $\displaystyle 2026$보다 작은 자연수 $\displaystyle n$의 개수는 총 $\displaystyle 2\times338=676$개다.답 : $\displaystyle 676$