자연계열 2번

1. $\displaystyle f(x)=\frac{(1+x)^{n}+(1-x)^{n}}{1+x^{n}}$에서$\displaystyle f^{\prime}(x)=n\cdot\frac{((1+x)^{n-1}-(1-x)^{x-1})(1+x^{n})-x^{n-1}((1+x)^{n}+(1-x)^{n})}{(1+x^{n})^{2}}$Correction. $\displaystyle (1-x)^{x-1}$은 $\displaystyle (1-x)^{n-1}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}&=n\cdot\frac{(1+x)^{n-1}((1+x^{n})-x^{n-1}(1+x))-(1-x)^{n-1}((1+x^{n})+(1-x)x^{n-1})}{(1+x^{n})^{2}}\\&=n\cdot\frac{(1+x)^{n-1}(1-x^{n-1})-(1-x)^{n-1}(1+x^{n-1})}{(1+x^{n})^{2}}\end{aligned}$ … (*)

$\displaystyle 0<x<1$이면 $\displaystyle x^{n-1}<x$이므로 $\displaystyle \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{n-1}\ge\frac{1+x}{1-x}>\frac{1+x^{n-1}}{1-x^{n-1}}$그러므로 $\displaystyle (1+x)^{n-1}(1-x^{n-1})>(1+x^{n-1})(1-x)^{n-1}$즉, (*)의 분자의 값이 양수이다.열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로, 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 증가한다.따라서 함수 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle f(1)=2^{n-1}$이고, 최솟값은 $\displaystyle f(0)=2$이다.

한편, $\displaystyle 0\le s\le1$에 대하여 $\displaystyle f(s)=-s^{3}+\left(\frac{1}{k}+1\right)s^{2}-\left(\frac{1}{k}+1\right)s=-s(s-1)\left(s-\frac{1}{k}\right)-s$는$\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=-1$이다.그리고 $\displaystyle f^{\prime}(s)=-3s^{2}+2\left(\frac{1}{k}+1\right)s-\left(\frac{1}{k}+1\right)$의 이차항의 계수가 음수이고,$\displaystyle k>1$에서 판별식 $\displaystyle \left(\frac{1}{k}+1\right)^{2}-3\left(\frac{1}{k}+1\right)=\left(\frac{1}{k}-2\right)\left(\frac{1}{k}+1\right)<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(s)<0$이다. 따라서 $\displaystyle -1\le f(s)\le0$을 만족시킨다.Comment. 여기에 쓴 식은 판별식 $\displaystyle D$의 $\displaystyle \frac14$이다. 부호를 판단하는 데에는 영향이 없다.

$\displaystyle a=\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}+\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2},\quad b=\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}-\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2}$이면,$\displaystyle a+b=\sqrt[8]{1-s^{8}},\ a-b=\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}$.㉡에 $\displaystyle a+b,\ a-b$를 대입하면Correction. ㉡에는 앞에서 정의한 $\displaystyle a,b$를 그대로 대입한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle (1-s^{8})+(1-(f(s))^{8})\ge2\left(\left(\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}+\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2}\right)^{8}+\left(\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}-\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2}\right)^{8}\right)$ … ㉢한편, ㉡에 $\displaystyle a=\frac{s+f(s)}{2},\ b=\frac{s-f(s)}{2}$을 대입하면$\displaystyle s^{8}+(f(s))^{8}\ge2\left(\left(\frac{s+f(s)}{2}\right)^{8}+\left(\frac{s-f(s)}{2}\right)^{8}\right)$ … ㉣㉢과 ㉣를 더하면$\displaystyle \begin{aligned}2&=(1-s^{8})+(1-(f(s))^{8})+s^{8}+(f(s))^{8}\\&\ge2\Bigg(\left(\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}+\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2}\right)^{8}+\left(\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}-\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2}\right)^{8}\\&\qquad+\left(\frac{s+f(s)}{2}\right)^{8}+\left(\frac{s-f(s)}{2}\right)^{8}\Bigg)\\&=2\left((g(s))^{8}+\left(\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}-\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2}\right)^{8}+(h(s))^{8}+\left(\frac{s-f(s)}{2}\right)^{8}\right)\end{aligned}$$\displaystyle \left(\because\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}+\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2}=g(s),\ \frac{s+f(s)}{2}=h(s)\right)$$\displaystyle \ge2\left(1-\left(\frac{1}{k}\right)^{8}+\left(\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}-\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2}\right)^{8}+\left(\frac{s-f(s)}{2}\right)^{8}\right)$$\displaystyle \left(\because(g(s))^{8}+(h(s))^{8}\ge1-\frac{1}{k^{8}}\right)$즉 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt[8]{1-s^{8}}-\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}}{2}\right)^{8}+\left(\frac{s-f(s)}{2}\right)^{8}\le\left(\frac{1}{k}\right)^{8}$ … ㉤따라서, (*)에 의하여 ㉤의 등호가 성립하기 위해서는 $\displaystyle s=f(s)$ 혹은 $\displaystyle s=-f(s)$이므로, 이 경우를 만족시키는 $\displaystyle s$의 값은 $\displaystyle 0,1,\frac{1}{k}$이다.

① $\displaystyle s=0$인 경우, $\displaystyle f(0)=0$이므로,㉤의 좌변이 $\displaystyle 0$이다.② $\displaystyle s=1$인 경우, $\displaystyle f(1)=-1$이므로,$\displaystyle (g(s),h(s))=(0,0)$.따라서, $\displaystyle (g(s))^{8}+(h(s))^{8}\ge1-\frac{1}{k^{8}}$라는 조건을 만족시키지 않는다.③ $\displaystyle s=\frac{1}{k}$인 경우, $\displaystyle f\left(\frac{1}{k}\right)=-\frac{1}{k}$이므로, ㉤의 좌변이 $\displaystyle \left(\frac{1}{k}\right)^{8}$이다.따라서, ㉤의 등호가 성립한다. 또한, $\displaystyle \left(g\left(\frac{1}{k}\right)\right)^{8}+\left(h\left(\frac{1}{k}\right)\right)^{8}=1-\frac{1}{k^{8}}$이다.그러므로, ①과 ③에 의하여 $\displaystyle \left(\sqrt[8]{1-s^{8}}-\sqrt[8]{1-(f(s))^{8}}\right)^{8}+(s-f(s))^{8}$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{256}{k^{8}}$이다.

3. $\displaystyle k$의 값을 기준으로 경우를 나누면 다음과 같다.(i) $\displaystyle k>8n^{2}-2$일 때, 함수 $\displaystyle h(s)$는 $\displaystyle s=k+n^{2}+2,\ k+2,\ k-8n^{2}+2$에서 불연속이다.Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: $\displaystyle k=8n^2-2$일 때도 불연속점의 위치는 $\displaystyle 9n^2$, $\displaystyle 8n^2$, $\displaystyle 0$으로 서로 다르다. 따라서 이 끝값에서도 불연속점이 세 개라는 조건을 만족하므로, $\displaystyle k$의 범위에 등호를 포함해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(ii) $\displaystyle 4n^{2}-2<k<8n^{2}-2$일 때, 함수 $\displaystyle h(s)$는 $\displaystyle s=k+n^{2}+2,\ k+2,\ -k+8n^{2}-2,\ 0$에서 불연속이다.(iii) $\displaystyle k=4n^{2}-2$일 때, 함수 $\displaystyle h(s)$는 $\displaystyle s=k+n^{2}+2,\ 0$에서 불연속이다.(iv) $\displaystyle \frac{7}{2}n^{2}-2<k<4n^{2}-2$일 때, 함수 $\displaystyle h(s)$는 $\displaystyle s=k+n^{2}+2,\ -k+8n^{2}-2,\ k+2,\ 0$에서 불연속이다.(v) $\displaystyle k=\frac{7}{2}n^{2}-2$일 때, 함수 $\displaystyle h(s)$는 $\displaystyle s=k+n^{2}+2,\ k+2,\ 0$에서 불연속이다.(vi) $\displaystyle 0<k<\frac{7}{2}n^{2}-2$일 때, 함수 $\displaystyle h(s)$는 $\displaystyle s=-k+8n^{2}-2,\ k+n^{2}+2,\ k+2,0$에서 불연속이다.(ii), (iii), (vi)의 경우 함수 $\displaystyle |g(x)+k|$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 $\displaystyle a_{n}=4n^{2}-2$이고 $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}a_{n}=4\times\frac{10\times11\times21}{6}-2\times10=1520$이다.