상경계열 2번

1. 점 $\displaystyle \mathrm{A}(t,t^{2}+1)$에서 곡선 $\displaystyle y=x^{2}+1$에 접하는 직선은 $\displaystyle y=2t(x-t)+t^{2}+1=2tx-t^{2}+1$이고, $\displaystyle y$축과 만나는 점 B는 $\displaystyle (0,-t^{2}+1)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}(t,t^{2}+1)$를 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이동한 점 C의 좌표는 $\displaystyle (t^{2}+1,t)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}(t^{2}+1,t)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점 D의 좌표는 $\displaystyle (-t^{2}-1,-t)$이다. 점 C와 점 D를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{t}{t^{2}+1}x$이다.

점 B에서 직선 $\displaystyle y=\frac{t}{t^{2}+1}x$까지의 거리를 $\displaystyle d$라 하면, $\displaystyle d=\frac{|t^{2}-1|}{\sqrt{\left(\frac{t}{t^{2}+1}\right)^{2}+1}}$이다.선분 CD의 길이를 $\displaystyle l$이라 하면 $\displaystyle l=2\sqrt{(t^{2}+1)^{2}+t^{2}}$이다. 삼각형 BCD의 넓이는$\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}dl=\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+1)|t^{2}-1|}{\sqrt{t^{2}+(t^{2}+1)^{2}}}\times2\sqrt{(t^{2}+1)^{2}+t^{2}}=t^{4}-1$이다.$\displaystyle f^{\prime}(t)=4t^{3}$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(-2)=-32$이다.

2. $\displaystyle g(x)=g(42-x)$로부터 $\displaystyle g(0)=g(42)$이고 $\displaystyle g(15)=g(27)$이다. 이를 통해 이차함수 $\displaystyle g(x)$이 직선 $\displaystyle x=21$에 대칭인 것을 알 수 있다. $\displaystyle g(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 2$인 이차함수이므로 $\displaystyle g(x)=2(x-21)^{2}+C$ 형태이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(2,f(2))$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=4(x-2)-320=4x-328$이다.이 직선과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$가 만나므로 교점의 $\displaystyle x$좌표는 이차방정식$\displaystyle 2(x-21)^{2}+C=4x-328\Leftrightarrow2x^{2}-88x+C+1210=0$을 만족시킨다. 이 직선과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$가 한 점에서 만나기 때문에 이 이차방정식의 판별식 $\displaystyle D$는$\displaystyle D=44^{2}-2(C+1210)=-2C-484=0$이고, $\displaystyle C=-242$이다.Comment. 여기에 쓴 식은 판별식 $\displaystyle D$의 $\displaystyle \frac14$이다. 판별식이 $\displaystyle 0$인지 판단하는 데에는 영향이 없다.즉,$\displaystyle g(x)=2(x-21)^{2}-242=2x^{2}-84x+640=2(x-10)(x-32)$이다.

부등식에서$\displaystyle f(x)<0\Leftrightarrow-18<x<18$이고, $\displaystyle g(x)<0\Leftrightarrow10<x<32$이다.$\displaystyle f(n)<0$과 $\displaystyle g(n)<0$을 모두 만족하는 자연수는 $\displaystyle 11\le n\le17$이다.따라서 $\displaystyle \sum_{n=11}^{17}n=\sum_{n=1}^{17}n-\sum_{n=1}^{10}n=\frac{17\times18}{2}-\frac{10\times11}{2}=153-55=98$이다.

3. $\displaystyle 2021$부터 $\displaystyle 2026$중에 $\displaystyle 2023$만 $\displaystyle 7$의 배수이므로 구슬 $\displaystyle 1$개당 시세는 다음 표와 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}n&2021&2022&2023&2024&2025&2026\\\hline a_{n}&50000&49000&48000&51000&50000&49000\end{array}$

$\displaystyle 2021$년 초의 총 자산은 예금 $\displaystyle 600,000$원 + 구슬 $\displaystyle 8$개 ($\displaystyle 8\times50000=400,000$원)이다.예금한 금액은 $\displaystyle 1$년 뒤 $\displaystyle 1.1$배를 돌려받으므로 공비가 $\displaystyle 1.1$인 등비수열의 항을 구하는 방식으로 계산할 수 있다. 그러므로$\displaystyle 2$년 뒤인 $\displaystyle 2023$년 초의 총 자산은,예금 $\displaystyle 600000\times1.1^{2}-7\times(48000)=726000-336000=390000$(원)과구슬 $\displaystyle 15$개 ($\displaystyle 15\times48000$원)이다.$\displaystyle 1$년 뒤인 $\displaystyle 2024$년 초의 총 자산은예금 $\displaystyle 390000\times1.1+11\times51000=429000+561000=990000$(원)과구슬 $\displaystyle 4$개 ($\displaystyle 4\times51000$원) 이다.이로부터 $\displaystyle 2$년 뒤인 $\displaystyle 2026$년 초의 총 자산은예금 $\displaystyle 990000\times1.1^{2}=1197900$(원)과 구슬 $\displaystyle 4$개와 $\displaystyle 2026$년 초 구슬의 $\displaystyle 1$개당 시세를 곱한 값 $\displaystyle 4\times49000=196000$(원)의 합이므로 $\displaystyle 1197900+196000=1,393,900$(원)이다.