자연계열 (오전) 2번

1. 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 그림과 같다.

함수 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$라 하자. 함수 $\displaystyle s(t)=e^{t}-\cos t$에 대하여, 열린구간 $\displaystyle (0,2\pi)$에서 $\displaystyle s(t)>0$이고 $\displaystyle s^{\prime}(t)=e^{t}+\sin t>0$이다. 따라서 열린구간 $\displaystyle (0,2\pi)$에서 함수 $\displaystyle (s(t))^{2026}$이 증가한다. $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle (s(t+\pi))^{2026}>(s(t))^{2026}$이고 $\displaystyle \sin(t+\pi)=-\sin t$이므로$\displaystyle F(2\pi)=\int_{0}^{2\pi}f(t)\,dt=\int_{\pi}^{2\pi}f(t)\,dt+\int_{0}^{\pi}f(t)\,dt=\int_{0}^{\pi}[(s(t+\pi))^{2026}-(s(t))^{2026}]\sin t\,dt>0=F(0)$이다. $\displaystyle x<0$일 때, $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt=\int_{0}^{-x}\{-f(-s)\}\,ds=\int_{0}^{-x}f(s)\,ds=F(-x)$이다.따라서 함수 $\displaystyle y=F(x)$의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle h(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$라 하면, $\displaystyle h(x)=F(x)+\int_{a}^{0}f(t)\,dt$이고 $\displaystyle h(a)=0$이다. 즉, 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프는 함수 $\displaystyle F(x)$의 그래프의 $\displaystyle y$축 방향으로의 평행이동이며 $\displaystyle h(a)=0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle g(x)=|h(x)|$가 실수 전체에서 미분가능하려면 곡선 $\displaystyle y=F(x)$와 직선 $\displaystyle y=F(a)$의 모든 교점에서 함수 $\displaystyle F(x)$의 미분계수가 $\displaystyle 0$이 되어야 한다. 함수 $\displaystyle y=F(x)$의 그래프에 의하면 이를 만족하는 $\displaystyle a$는 $\displaystyle -2\pi,-\pi,\pi,2\pi$이다.

2. 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}y=a(x-1)\\x^{2}+y^{2}=1\end{cases}$을 풀면, 점 P, Q의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}=(1,0),\ \mathrm{Q}=\left(\frac{a^{2}-1}{a^{2}+1},-\frac{2a}{a^{2}+1}\right)$연립방정식 $\displaystyle \begin{cases}y=a(x-1)+k\\x^{2}+y^{2}=1\end{cases}$를 풀면, 점 R의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{a^{2}-ak+\sqrt{1+a^{2}-(a-k)^{2}}}{1+a^{2}}$이고 점 S의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{a^{2}-ak-\sqrt{1+a^{2}-(a-k)^{2}}}{1+a^{2}}$이다.

직선 $\displaystyle y=a(x-1)$을 $\displaystyle L$, 직선 $\displaystyle y=a(x-1)+k$를 $\displaystyle L^{\prime}$이라 하자.점 P, Q에서 직선 $\displaystyle L^{\prime}$에 내린 수선의 발을 각각 점 B, C라 하고, 점 R, S에서 직선 $\displaystyle L$에 내린 수선의 발을 각각 점 A, D라 하자.점 P와 직선 $\displaystyle L^{\prime}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{k}{\sqrt{a^{2}+1}}$이므로, 직사각형 PBCQ의 넓이는$\displaystyle \frac{k}{\sqrt{a^{2}+1}}\overline{\mathrm{PQ}}=\frac{2k}{a^{2}+1}$이다.두 점 R, S의 $\displaystyle x$좌표의 차를 $\displaystyle d=\frac{2\sqrt{1+a^{2}-(a-k)^{2}}}{1+a^{2}}$라 할 때,$\displaystyle \overline{\mathrm{RS}}=d\sqrt{1+a^{2}}=\frac{2\sqrt{1+a^{2}-(a-k)^{2}}}{\sqrt{1+a^{2}}}$이므로 직사각형 ARSD의 넓이는$\displaystyle \frac{k}{\sqrt{a^{2}+1}}\overline{\mathrm{RS}}=k\cdot\frac{2\sqrt{1+a^{2}-(a-k)^{2}}}{1+a^{2}}$이다.실수 $\displaystyle 0<k\le a$에 대하여 직선 $\displaystyle L^{\prime}$과 직선 $\displaystyle L$, 그리고 호 PR, 호 QS로 둘러싸인 영역은 직사각형 ARSD의 내부에 있고 직사각형 PBCQ를 포함하므로,$\displaystyle \frac{2k}{a^{2}+1}\le S(k)\le k\cdot\frac{2\sqrt{1+a^{2}-(a-k)^{2}}}{1+a^{2}}$$\displaystyle \frac{2}{a^{2}+1}\le\frac{S(k)}{k}\le\frac{2\sqrt{1+a^{2}-(a-k)^{2}}}{1+a^{2}}$$\displaystyle \frac{2}{a^{2}+1}\le\lim_{k\to0^{+}}\frac{S(k)}{k}\le\lim_{k\to0^{+}}\frac{2\sqrt{1+a^{2}-(a-k)^{2}}}{1+a^{2}}$ … ㉠이때 $\displaystyle \lim_{k\to0^{+}}\frac{2\sqrt{1+a^{2}-(a-k)^{2}}}{1+a^{2}}=\frac{2}{1+a^{2}}$이므로 ㉠에 의하여 $\displaystyle \lim_{k\to0^{+}}\frac{S(k)}{k}=\frac{2}{1+a^{2}}$이다.

3. 등식 $\displaystyle f(g(t))=h(t)$의 양변을 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(g(t))g^{\prime}(t)=h^{\prime}(t),\quad f^{\prime\prime}(g(t))\{g^{\prime}(t)\}^{2}+f^{\prime}(g(t))g^{\prime\prime}(t)=h^{\prime\prime}(t)$ …… ㉠조건 (2)에 의하여 $\displaystyle t=1$일 때 점 P의 속력 $\displaystyle \sqrt{1+\{g^{\prime}(t)\}^{2}}$이 최대가 되므로 $\displaystyle \{g^{\prime}(t)\}^{2}$의 값도 최대가 된다. 따라서 $\displaystyle 2g^{\prime}(1)g^{\prime\prime}(1)=0$또한 $\displaystyle \sqrt{1+\{g^{\prime}(1)\}^{2}}=\sqrt{2}$에서 $\displaystyle g^{\prime}(1)=1$ 또는 $\displaystyle -1$. 조건 (3), (4)에 의하여$\displaystyle f^{\prime}(g(1))g^{\prime}(1)=h^{\prime}(1)=\frac{9}{4}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(g(1))>0$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(1)>0$따라서 $\displaystyle g^{\prime}(1)=1$이고 $\displaystyle g^{\prime\prime}(1)=0$. ㉠에서$\displaystyle f^{\prime}(g(1))=h^{\prime}(1)=\frac{9}{4},\quad f^{\prime\prime}(g(1))=h^{\prime\prime}(1)=-2$ …… ㉡조건 (1)에 의하여 $\displaystyle g\left(\frac{1}{4}\right)=0,\ g^{\prime\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=1$. 따라서 $\displaystyle f(0)=f\left(g\left(\frac{1}{4}\right)\right)=h\left(\frac{1}{4}\right)=0$ …… ㉢또한 $\displaystyle g(t)\ge0=g\left(\frac{1}{4}\right)$이므로 $\displaystyle g^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$이고 ㉠에서$\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime}\left(g\left(\frac{1}{4}\right)\right)=f^{\prime}\left(g\left(\frac{1}{4}\right)\right)g^{\prime\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=h^{\prime\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=4$ …… ㉣㉢, ㉣에서 $\displaystyle f(x)=x^{3}+ax^{2}+4x$ ($\displaystyle a$는 실수)$\displaystyle g(1)=b\ge0$라 하면 ㉡에서 $\displaystyle 3b^{2}+2ab+\frac{7}{4}=0,\ 3b+a=-1$. 연립하면 $\displaystyle a=\frac{5}{2},\ b=-\frac{7}{6}<0$ 또는 $\displaystyle a=-\frac{5}{2},\ b=\frac{1}{2}\ge0$따라서 $\displaystyle a=-\frac{5}{2}$이고 $\displaystyle f(x)=x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}+4x$.

그러므로 $\displaystyle f(3)=\frac{33}{2}$