자연계열 (오후1) 2번

1. 점 O에서 점 B, C, D까지의 거리가 모두 같으므로 점 O는 삼각형 BCD의 외심이고, 삼각형 BCD는 정삼각형이므로 점 O는 삼각형 BCD의 무게중심이다. 점 D에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 M이라 하면 직선 AO와 직선 DM은 서로 수직이고 점 O에서 만난다. 삼수선의 정리에 의해 직선 AM과 직선 BC는 서로 수직이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{DM}}=\sqrt{\overline{\mathrm{CD}}^{2}-\overline{\mathrm{MC}}^{2}}=3\sqrt{3}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{DM}}:\overline{\mathrm{DO}}=\overline{\mathrm{DC}}:\overline{\mathrm{DP}}=\overline{\mathrm{MC}}:\overline{\mathrm{OP}}=3:2$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{DO}}=2\sqrt{3},\quad\overline{\mathrm{DP}}=4,\quad\overline{\mathrm{OP}}=2$이다. 또한, $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{DO}}=\sqrt{3}$이고$\displaystyle \overline{\mathrm{AM}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AC}}^{2}-\overline{\mathrm{MC}}^{2}}=\sqrt{a^{2}-9}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AM}}^{2}-\overline{\mathrm{OM}}^{2}}=\sqrt{a^{2}-12}$이다.

따라서, $\displaystyle \triangle\mathrm{DOP}=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{DO}}\times\overline{\mathrm{OP}}=2\sqrt{3},$$\displaystyle \triangle\mathrm{AOD}=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{DO}}\times\overline{\mathrm{AO}}=\sqrt{3(a^{2}-12)},$$\displaystyle \triangle\mathrm{AOP}=\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AO}}\times\overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{a^{2}-12},$$\displaystyle \triangle\mathrm{APD}=\frac{2}{3}\triangle\mathrm{ACD}=\frac{2}{3}\triangle\mathrm{ABC}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times\overline{\mathrm{AM}}\times\overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{a^{2}-9}$이고, 삼각형 DOP, AOD, AOP, APD의 넓이의 곱은 $\displaystyle 12(a^{2}-12)\sqrt{a^{2}-9}$이다.답: $\displaystyle 12(a^{2}-12)\sqrt{a^{2}-9}$

2. $\displaystyle \theta_{1},\ \theta_{2},\ \theta_{3}$ 중 가장 작은 것이 $\displaystyle \theta$이므로 $\displaystyle \cos\theta$는 $\displaystyle \cos\theta_{1},\ \cos\theta_{2},\ \cos\theta_{3}$ 중 가장 큰 것이다.$\displaystyle \cos\theta_{1}=\frac{\triangle\mathrm{DOP}}{\triangle\mathrm{APD}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2}-9}},$$\displaystyle \cos\theta_{2}=\frac{\triangle\mathrm{AOD}}{\triangle\mathrm{APD}}=\frac{\sqrt{3(a^{2}-12)}}{2\sqrt{a^{2}-9}},$$\displaystyle \cos\theta_{3}=\frac{\triangle\mathrm{AOP}}{\triangle\mathrm{APD}}=\frac{\sqrt{a^{2}-12}}{2\sqrt{a^{2}-9}}$이므로 $\displaystyle \cos\theta_{2}>\cos\theta_{3}$이다.

한편, $\displaystyle \cos\theta_{1}>\cos\theta_{2}\Leftrightarrow2>\sqrt{a^{2}-12}\Leftrightarrow4>a^{2}-12\Leftrightarrow a<4$이다.(i) $\displaystyle 2\sqrt{3}<a<4$일 때, $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}=\cos\theta_{1}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2}-9}}$이므로 $\displaystyle a^{2}-9=\frac{9}{2}$이고 $\displaystyle a=\frac{3\sqrt{6}}{2}$이다.(ii) $\displaystyle a\ge4$일 때, $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}=\cos\theta_{2}=\frac{\sqrt{3(a^{2}-12)}}{2\sqrt{a^{2}-9}}$이므로 $\displaystyle 24(a^{2}-9)=27(a^{2}-12)$이고 $\displaystyle a=6$이다.따라서 $\displaystyle a=\frac{3\sqrt{6}}{2}$ 또는 $\displaystyle a=6$이다.답: $\displaystyle a=\frac{3\sqrt{6}}{2},\quad a=6$

3. 평면 EFGH가 선분 AB, 선분 AC, 선분 AD와 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime},\ \mathrm{C}^{\prime},\ \mathrm{D}^{\prime}$이라 하고, 선분 AM과 선분 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}$이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}$이라 하자. 정육면체 EFGH－IJKL의 한 변의 길이를 $\displaystyle x$라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$이 정삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}}=\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)x$이다.한편, 점 $\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}$에서 선분 DM에 내린 수선의 발을 N이라 하면 삼수선의 정리에 의하여 직선 MN과 직선 BC는 서로 수직이므로 점 N은 선분 MO 위의 점이다. 두 삼각형 AMO와 $\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}\mathrm{MN}$은 닮음이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{M}}:\overline{\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{N}}=\overline{\mathrm{AM}}:\overline{\mathrm{AO}}=\sqrt{7}:2$로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{M}}=\frac{\sqrt{7}}{2}x$를 얻는다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}^{\prime}}=\overline{\mathrm{AM}}-\overline{\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{M}}=\sqrt{7}\left(1-\frac{x}{2}\right)$이다. 또한 두 삼각형 AMD와 $\displaystyle \mathrm{AM}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}$는 닮음이므로$\displaystyle \sqrt{7}\left(1-\frac{x}{2}\right):\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)x=\overline{\mathrm{AM}^{\prime}}:\overline{\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{D}^{\prime}}=\overline{\mathrm{AM}}:\overline{\mathrm{MD}}=\sqrt{7}:3\sqrt{3}$이다.즉, $\displaystyle \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)x=3\sqrt{3}\left(1-\frac{x}{2}\right)$이고 이를 정리하면 $\displaystyle x=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+1}=\frac{18-3\sqrt{3}}{11}$이다.

따라서, 정사각형 EIJF의 평면 ACD 위로의 정사영의 넓이는$\displaystyle x^{2}\cos\theta_{3}=\left(\frac{18-3\sqrt{3}}{11}\right)^{2}\times\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{351\sqrt{7}-108\sqrt{21}}{847}$이다.답: $\displaystyle \frac{351\sqrt{7}-108\sqrt{21}}{847}$