자연계열 1-1번

곡선 $\displaystyle y=\sqrt{-x^{2}-4x+1}=\sqrt{5-(x+2)^{2}}$ 는 중심이 $\displaystyle \mathrm{C}(-2,0)$이고반지름이 $\displaystyle \sqrt{5}$인 원의 위쪽 반원이다.원의 접선은 그 접점에 이르는 반지름과 수직이므로,점 P에서의 접선은 선분 CP와 수직이다.한편 문제의 조건에서 점 P에서의 접선은 직선 PQ와도 수직이다.점 P를 지나면서 한 직선에 수직인 직선은 하나뿐이므로 두 직선 CP와 PQ는 같은 직선이고,따라서 세 점 $\displaystyle \mathrm{C}$, $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$는 한 직선 위에 있다.한편 $\displaystyle g(x)=\frac{3}{2}x^{2}-8x+12$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3x-8$이므로 점 Q에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 3c-8$이고,두 접선이 서로 평행하므로 점 P에서의 접선의 기울기도 $\displaystyle 3c-8$이다.

점 Q에서의 접선은 직선 PQ, 곧 직선 CQ와 수직이다.직선 CQ의 기울기는 $\displaystyle \frac{d-0}{c-(-2)}=\frac{d}{c+2}$이므로$\displaystyle \frac{d}{c+2}(3c-8)=-1$이 성립한다.여기에 $\displaystyle d=\frac{3}{2}c^{2}-8c+12$을 대입하여 정리하면$\displaystyle \begin{aligned} & \left(\frac{3}{2}c^{2}-8c+12\right)(3c-8)=-(c+2) \\ \Leftrightarrow\ & 9c^{3}-72c^{2}+202c-188=0 \\ \Leftrightarrow\ & (c-2)(9c^{2}-54c+94)=0 \end{aligned}$이고, $\displaystyle 9c^{2}-54c+94$의 판별식이 $\displaystyle 54^{2}-4\cdot 9\cdot 94=-468<0$이라 실근이 없으므로 $\displaystyle c=2$이다.따라서 $\displaystyle d=\frac{3}{2}\cdot 2^{2}-8\cdot 2+12=2$이므로 $\displaystyle \mathrm{Q}(2,2)$이다.

점 P는 직선 CQ 위에 있으면서 $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}}=\sqrt{5}$인 점이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$이므로 점 P는 선분 CQ의 중점이고,따라서 $\displaystyle \mathrm{P}(0,1)$이다.직선 CQ가 원과 만나는 나머지 한 점 $\displaystyle (-4,-1)$은 $\displaystyle y$좌표가 음수라 이 반원 위의 점이 아니다.$\displaystyle a=0$은 주어진 범위 $\displaystyle -2-\sqrt{5}<a<-2+\sqrt{5}$를 만족한다.