상경계열 2번

1. $\displaystyle \{a_{n}\}$은 모든 항이 양수인 등비수열이므로 첫째항을 $\displaystyle a$, 공비를 $\displaystyle r$이라 하면 $\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}$ ($\displaystyle a>0,\ r>0$)로 둘 수 있다.조건 $\displaystyle a_{4}+a_{5}=8(a_{1}+a_{2})$에 $\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}$을 대입하면 $\displaystyle a(1+r)(r^{3}-8)=0$.여기서 $\displaystyle a>0,\ r>0$이므로 $\displaystyle a(1+r)\ne0$이다. 따라서 $\displaystyle r^{3}=8$, 즉, $\displaystyle r=2$.조건 $\displaystyle a_{4}+a_{6}+40=a_{5}+a_{7}$에 이를 대입하면 $\displaystyle 40a+40=80a$, 즉, $\displaystyle a=1$. 따라서 $\displaystyle a_{n}=2^{n-1}$.

$\displaystyle n\ge2$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여,$\displaystyle \int_{1}^{n}f(t)\,dt=\sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f(t)\,dt=\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}=\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}=2^{n-1}-1=a_{n}-1$.$\displaystyle F(x)=\int_{1}^{x}f(t)\,dt$ ($\displaystyle x\ge1$)라 하자. 함수 $\displaystyle f$가 구간 $\displaystyle [1,\infty)$에서 연속이므로 정적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$ ($\displaystyle x>1$)이다. 또한 함수 $\displaystyle F$가 닫힌구간 $\displaystyle [1,n]$에서 연속이고, 열린구간 $\displaystyle (1,n)$에서 미분가능하므로, 평균값의 정리에 의하여$\displaystyle f(c)(n-1)=F^{\prime}(c)(n-1)=F(n)-F(1)=\int_{1}^{n}f(t)\,dt=a_{n}-1$, 즉, $\displaystyle f(c)=\frac{a_{n}-1}{n-1}$인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (1,n)$에 적어도 하나 존재한다.

2. 사인법칙에 의하여 $\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\sin\mathrm{A}=\sqrt{3}x$이므로, $\displaystyle S=\lim_{x\to4^{-}}S(x)=4\sqrt{3}$을 얻는다.Correction. 여기서는 사인법칙이 아니라 두 변과 끼인각을 이용하는 삼각형의 넓이 공식을 사용한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

또한, 사인법칙으로부터 외접원의 반지름을 $\displaystyle R=4$로 두면, $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=2R\times\sin\mathrm{A}=8\times\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$이다.

한편, 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle (4\sqrt{3})^{2}=\overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{AC}}^{2}-2\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\cos\mathrm{A}=\overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{AC}}^{2}-4x$이므로,$\displaystyle (\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AC}})^{2}=(\overline{\mathrm{AB}}^{2}+\overline{\mathrm{AC}}^{2})+2\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}=(48+4x)+8x=48+12x$따라서,$\displaystyle L(x)=4\sqrt{3}+\sqrt{48+12x}$이고, $\displaystyle L=\lim_{x\to4^{-}}L(x)=4\sqrt{3}+4\sqrt{6}$그러므로, $\displaystyle \frac{L-L(x)}{S-S(x)}=\frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{6}-4\sqrt{3}-\sqrt{48+12x}}{4\sqrt{3}-\sqrt{3}x}=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{16+4x}}{4-x}=\frac{16-4x}{(4-x)(4\sqrt{2}+\sqrt{16+4x})}=\frac{4}{4\sqrt{2}+\sqrt{16+4x}}$이로부터, $\displaystyle \lim_{x\to4^{-}}\frac{L-L(x)}{S-S(x)}=\lim_{x\to4^{-}}\frac{4}{4\sqrt{2}+\sqrt{16+4x}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

3. 먼저 $\displaystyle P(t)=\int_{0}^{t}(x^{2}-2ax+a^{2}-a)\,dx=\Biggl[\frac{x^{3}}{3}-ax^{2}+(a^{2}-a)x\Biggr]_{0}^{t}=\frac{t^{3}}{3}-at^{2}+(a^{2}-a)t$이다.

추가로 $\displaystyle 0<t\le1$인 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle M(t)=\frac{P(t)}{t}$, $\displaystyle M(0)=\lim_{t\to0^{+}}\frac{P(t)}{t}$로 두면 $\displaystyle M(t)=\frac{t^{2}}{3}-at+a^{2}-a$ ($\displaystyle 0\le t\le1$)이고,$\displaystyle P(t)\ge0\Leftrightarrow M(t)\ge0$이다.Comment. $\displaystyle P(t)\ge0$과 $\displaystyle M(t)\ge0$의 동치는 $\displaystyle t>0$일 때 성립한다. $\displaystyle t=0$에서는 $\displaystyle P(0)=0$을 따로 확인하면 된다.$\displaystyle M(t)=\frac{1}{3}\left(t-\frac{3a}{2}\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4}-a$는 아래로 볼록한 이차함수이고 축의 방정식은 $\displaystyle t=\frac{3}{2}a$이므로 축의 위치에 따라 경우를 나눈다.가. $\displaystyle a<0$: 축이 구간의 왼쪽에 있으므로 $\displaystyle M(t)$는 증가한다. 따라서 최솟값은 $\displaystyle M(0)=a(a-1)>0$이고 모든 $\displaystyle a<0$가 조건을 만족한다.나. $\displaystyle 0\le a\le\frac{2}{3}$: 축이 구간 $\displaystyle [0,1]$안에 있으므로 최솟값은 $\displaystyle M\left(\frac{3a}{2}\right)=\frac{a^{2}}{4}-a\ge0$이고 이를 만족하는 값은 $\displaystyle a=0$뿐이다.다. $\displaystyle a>\frac{2}{3}$: 축이 구간의 오른쪽에 있으므로 최솟값은 $\displaystyle t=1$에서 발생하고 필요한 조건은 $\displaystyle M(1)=a^{2}-2at+\frac{1}{3}\ge0$이다.Correction. $\displaystyle M(1)=a^2-2at+\frac13$에서 $\displaystyle -2at$는 $\displaystyle -2a$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이를 정리하면 $\displaystyle (a-1)^{2}\ge\frac{2}{3}$이므로 만족하는 값의 범위는 $\displaystyle a\le1-\sqrt{\frac{2}{3}}$ 또는 $\displaystyle a\ge1+\sqrt{\frac{2}{3}}$이다. 하지만 $\displaystyle a>\frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle a\ge1+\sqrt{\frac{2}{3}}$가 조건을 만족한다.따라서 출시 이후 어느 시점에서도 누적 순수익이 음수가 되지 않도록 하는 모든 실수 $\displaystyle a$의 범위는 $\displaystyle a\le0$ 또는 $\displaystyle a\ge1+\sqrt{\frac{2}{3}}$이다.