자연계열 1-3번

지수함수 $\displaystyle y=a^{x}$와 로그함수 $\displaystyle y=\log_{a}x$는 그 그래프가 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이다. 따라서 두 점 $\displaystyle A,B$는 직선 $\displaystyle y=x$ 위의 점이며 $\displaystyle R(a)$는 곡선 $\displaystyle y=a^{x}$와 직선 $\displaystyle y=x$로 둘러싸인 도형의 넓이의 $\displaystyle 2$배이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned} R(a)&=2\int_{f(a)}^{g(a)}(x-a^{x})\,dx=2\Biggl[\frac{1}{2}x^{2}-\frac{a^{x}}{\ln a}\Biggr]_{f(a)}^{g(a)}=g(a)^{2}-f(a)^{2}-\frac{2\left(a^{g(a)}-a^{f(a)}\right)}{\ln a} \\ &=g(a)^{2}-f(a)^{2}-\frac{2(g(a)-f(a))}{\ln a}=(g(a)-f(a))\left(g(a)+f(a)-\frac{2}{\ln a}\right) \end{aligned}$

선분 AB의 길이는 $\displaystyle \sqrt{2}(g(a)-f(a))$이므로 $\displaystyle S(a)=2(g(a)-f(a))^{2}$이다. 그러므로$\displaystyle \frac{R(a)}{S(a)}=\frac{g(a)+f(a)-\frac{2}{\ln a}}{2(g(a)-f(a))}=\frac{1+\frac{f(a)}{g(a)}-\frac{2}{g(a)\ln a}}{2\left(1-\frac{f(a)}{g(a)}\right)}\qquad\cdots\!\cdots\ ①$

한편, $\displaystyle 1<a<e^{\frac{1}{e}}$이므로 $\displaystyle \ln a<\frac{1}{e}$이고, $\displaystyle a^{e}<e<\frac{1}{\ln a}=\log_{a}e$이다. 또한, $\displaystyle x>0$에 대하여, $\displaystyle a^{x}<\log_{a}x$와 $\displaystyle f(a)<x<g(a)$가 동치이다. 그러므로 $\displaystyle f(a)<e<g(a)$이다. $\displaystyle a^{g(a)}=g(a)>e$이므로 $\displaystyle g(a)>\log_{a}e=\frac{1}{\ln a}$이다. $\displaystyle 0<\frac{f(a)}{g(a)}<e\ln a$이므로 $\displaystyle \lim_{a\to 1+}\frac{f(a)}{g(a)}=0$이다. 또한, $\displaystyle a^{g(a)}=g(a)>\frac{1}{\ln a}$이므로 $\displaystyle g(a)>\log_{a}\!\left(\frac{1}{\ln a}\right)=\frac{\ln\!\left(\frac{1}{\ln a}\right)}{\ln a}$이다. 따라서 $\displaystyle 0<\frac{1}{g(a)\ln a}<\frac{1}{\ln\!\left(\frac{1}{\ln a}\right)}$이므로 $\displaystyle \lim_{a\to 1+}\frac{1}{g(a)\ln a}=0$이다. ①에 의해$\displaystyle \lim_{a\to 1+}\frac{R(a)}{S(a)}=\lim_{a\to 1+}\frac{1+\frac{f(a)}{g(a)}-\frac{2}{g(a)\ln a}}{2\left(1-\frac{f(a)}{g(a)}\right)}=\frac{1}{2}$이다.