자연계열 2-1번

점 $\displaystyle \left(t,t+\frac{1}{t}\right)$에서 곡선 $\displaystyle y=x+\frac{1}{x}$에 접하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)(x-t)+t+\frac{1}{t}=\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)x+\frac{2}{t}$이고 이 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \frac{2t}{1-t^{2}}$이다. 또한, 점 $\displaystyle \left(s,s+\frac{1}{s}\right)$에서 곡선 $\displaystyle y=x+\frac{1}{x}$에 접하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\left(1-\frac{1}{s^{2}}\right)x+\frac{2}{s}$이고 이 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle -\frac{2s}{s^{2}-1}$이다. 두 접선의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구해보면 $\displaystyle \left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)x+\frac{2}{t}=\left(1-\frac{1}{s^{2}}\right)x+\frac{2}{s}$로부터 $\displaystyle \left(\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{s^{2}}\right)x=\frac{2}{t}-\frac{2}{s}$를 얻고, 이를 정리하면 $\displaystyle x=\frac{2ts}{t+s}$이다. 따라서 교점의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle y=\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right)\frac{2ts}{t+s}+\frac{2}{t}=\frac{2(ts+1)}{t+s}$이다. 두 접선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형은 삼각형이므로 이 도형의 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(\frac{2t}{1-t^{2}}+\frac{2s}{s^{2}-1}\right)\times\frac{2(ts+1)}{t+s}=\frac{2(s-t)(ts+1)^{2}}{(1-t^{2})(s^{2}-1)(t+s)}=\frac{32}{15}$이다.

$\displaystyle t=\frac{1}{2}$일 때, $\displaystyle 5\left(s-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{s}{2}+1\right)^{2}=4(s^{2}-1)\left(s+\frac{1}{2}\right)$이고 이를 정리하면 $\displaystyle 22s^{3}-19s^{2}-52s+4=(s-2)(22s^{2}+25s-2)=0$을 얻는다. $\displaystyle f(s)=22s^{2}+25s-2$라 두면 $\displaystyle f(1)=45>0$이고, $\displaystyle s>1$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(s)=44s+25>0$이므로 $\displaystyle 1$보다 큰 모든 실수 $\displaystyle s$에 대하여 $\displaystyle f(s)>0$이다. 따라서 $\displaystyle s=2$이다.

한편, 위에서 얻은 방정식을 정리하면 $\displaystyle (31t^{2}-16)s^{3}+(t^{3}+14t)s^{2}-(46t^{2}-31)s-16t^{3}+t=0$이다. $\displaystyle s$를 $\displaystyle t$에 대한 함수로 보고 양변을 $\displaystyle t$에 대해서 미분하면$\displaystyle 62ts^{3}+3(31t^{2}-16)s^{2}\frac{ds}{dt}+(3t^{2}+14)s^{2}+2(t^{3}+14t)s\frac{ds}{dt}-92ts-(46t^{2}-31)\frac{ds}{dt}-48t^{2}+1=0$이고 여기에 $\displaystyle t=\frac{1}{2}$, $\displaystyle s=2$를 대입하면 $\displaystyle \frac{ds}{dt}=4$를 얻는다.